Integrazione e derivazione termine a termine

[Webster]

Non riesco a svolgere il seguente esercizio:"Applicando la derivazione e l'integrazione termine a termine calcolare le somme delle seguenti serie,indicandone i domini: $sum_(n=1)^(oo) (x^n/n)(-1)^(n-1) $ , $sum_(n=1)^(oo) (n+1)x^n$".Ho calcolato i domini di integrazione ottenendo rispettivamente $D=(-1,1]$ e $D=(-1,1)$.La regola di integrazione termine a termine dovrebbe essere $int_(x0)^(x) S(e) de=sum_(n=1)^(oo) int_(x0)^(x) fn(e) de$ mentre per la derivazione $d(S(x))/dx=sum_(n=1)^(oo) f'n(x)$ ma non capisco come mi possano aiutare alla risoluzione dell'esercizio.Potete aiutarmi?

[Rigel1]

Considera ad esempio la prima serie; vedi subito che è una serie di potenze centrata nell'origine con raggio di convergenza $R=1$.
Detta $f(x)$ la sua somma, per $x\in (-1,1)$ puoi derivare termine a termine, ottenendo
$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\cdot \frac{n x^{n-1}}{n} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k = \frac{1}{1+x}$
(nel penultimo passaggio ho fatto il cambio di indice $k=n-1$).
Analogamente si ragiona quando integri termine a termine.

[Webster]

Grazie!