Integrazione disequazione differenziale

[exist]

Salve a tutti, premetto di non aver mai integrato una disequazione differenziale. Mi è stato consigliato di studiare l'appendice del secondo volume dell'Acerbi, Modica, Spagnolo, ma questo è stato di scarso aiuto. Vi propongo la disequazione in questione:

Sia $f:\R\rightarrow\R$, f di classe $C^\infty$ e tale che decada all'infinito.
Si ha la disuguaglianza differenziale:
\[
f\,'(t)\lesssim (f(t))^{\frac{3}{2}}
\]
allora:
\[
f(t)\lesssim O(f(0)) \qquad\forall |t|<<(f(0))^{-\frac{1}{2}}
\]

Non so davvero da dove iniziare, spero che qualcuno possa darmi una mano

[Rigel1]

Intanto immagino che la tua funzione sia anche positiva.
Ragioniamo solo per tempi $t\ge 0$ (analogamente si ragionerà quando $t\le 0$).
Inizia a risolvere l'equazione differenziale
\( y' = y^{3/2} \)
con \( y(0) > 0 \); ottieni \( y(t) = \frac{4 y(0)}{(2- t\sqrt{y(0)})^2} \), definita per \( t\in [0, 2 / \sqrt{y(0)}) \).
Questa soluzione sarà $\ge$ della tua funzione (posto che $f(0) = y(0)$); di conseguenza ottieni che
\[
f(t) \leq \frac{4 f(0)}{(2- t\sqrt{f(0)})^2} \qquad \forall t\in [0, 2 / \sqrt{f(0)}).
\]
Vedi subito che, se \( t \leq 1/ \sqrt{f(0)} \), hai che
\[
f(t) \leq 4 f(0).
\]

[exist]

L'unica cosa che non mi è del tutto chiara è come posso esser certa che la soluzione dell'eq. differenziale sia $\geq$ della mia funzione. Subentra qualche teorema? (Pensavo al 'teorema del confronto' presente nell'appendice del A.M.S.)

[Rigel1]

Sì, si tratta di teoremi di confronto per equazioni differenziali ordinarie.