Integrazione di successioni
Ho un dubbio circa l'applicabilità del teorema della convergenza dominata. Avendo una successione di funzioni $f_{n}: A \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$, è necessario che la funzione $g:A \rightarrow \mathbb{R}$ sia tale che $|f_{n}(x)|\leq g(x)$ $\forall n\in \mathbb{N}$ oppure basta che lo sia definitivamente? Visto che ciò che interessa sono i limiti direi che è sufficiente che lo sia definitivamente, però non ho trovato enunciato da nessuna parte il teorema con questa ipotesi più debole (perché troppo ovvia o perché sbagliata?).
In particolare questo dubbio mi è sorto dovendo verificare uguaglianze di questo tipo:
$$\lim_{n \to +\infty} \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^n} dx=\int_{1}^{+\infty} \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{x^n} dx$$
Se è lecito trovare una funzione che sia maggiorante solo da un certo $n$ in poi allora basta prendere $g(x)=\frac{1}{x^2}$. Ho verificato integrando "a mano" che i due membri coincidono (ma potrebbe essere una coincidenza(?)).
Un dubbio analogo lo ritrovo con il teorema della convergenza monotona per successioni di funzioni decrescenti. In questo caso normalmente viene richiesto che il primo termine della successione sia sommabile, ma, anche vedendo la dimostrazione, mi sembra ragionevole che sia sufficiente la sommabilità di almeno un termine della successione di funzioni (se così fosse potrei usare anche questo teorema per affrontare l'esempio sopra).
Spero si sia capito il mio dubbio (e spero che non sia troppo stupido
)
In particolare questo dubbio mi è sorto dovendo verificare uguaglianze di questo tipo:
$$\lim_{n \to +\infty} \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^n} dx=\int_{1}^{+\infty} \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{x^n} dx$$
Se è lecito trovare una funzione che sia maggiorante solo da un certo $n$ in poi allora basta prendere $g(x)=\frac{1}{x^2}$. Ho verificato integrando "a mano" che i due membri coincidono (ma potrebbe essere una coincidenza(?)).
Un dubbio analogo lo ritrovo con il teorema della convergenza monotona per successioni di funzioni decrescenti. In questo caso normalmente viene richiesto che il primo termine della successione sia sommabile, ma, anche vedendo la dimostrazione, mi sembra ragionevole che sia sufficiente la sommabilità di almeno un termine della successione di funzioni (se così fosse potrei usare anche questo teorema per affrontare l'esempio sopra).
Spero si sia capito il mio dubbio (e spero che non sia troppo stupido
)
Risposte
Definitivamente è sufficiente.
Grazie mille!
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