Integrazione di funzioni razionali!
Salve a tutti!
Ultimamente mi sto dedicando all'analisi matematica in vista di un esame però ho incontrato alcune difficoltà per quanto riguarda l'integrazione (indefinita) di funzioni razionali. Sul mio testo la spiegazione non e delle piu intuitive anche perche entrano in ballo anche il teorema fondamentale dell'algebra insieme ad alcuni passaggi poco chiari.
Ci sarebbe per caso qualche anima pia cosi gentile da illustrarmi in modo chiaro il procedimento per la risoluzione di questi integrali ?!?
Grazie mille!!!
Ultimamente mi sto dedicando all'analisi matematica in vista di un esame però ho incontrato alcune difficoltà per quanto riguarda l'integrazione (indefinita) di funzioni razionali. Sul mio testo la spiegazione non e delle piu intuitive anche perche entrano in ballo anche il teorema fondamentale dell'algebra insieme ad alcuni passaggi poco chiari.
Ci sarebbe per caso qualche anima pia cosi gentile da illustrarmi in modo chiaro il procedimento per la risoluzione di questi integrali ?!?
Grazie mille!!!
Risposte
Ci sono tantissime tipologie di integrali razionali, sicché non è possibile dare una "formula" generale che valga ugualmente per tutti.
Ogni esercizio richiede i dovuti accorgimenti.
Tuttavia ci sono particolari integrali razionali risolvibili con delle tecniche piuttosto elementari.
Te ne suggerisco alcuni:
Prendi la funzione [tex]$f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$[/tex]
Chiamiamo con [tex]$n$[/tex] il grado di [tex]$N(x)$[/tex], con [tex]$m$[/tex] il grado di [tex]$D(x)$[/tex].
Quindi, supponiamo di avere l'integrale di [tex]$f(x)$[/tex], cioè:
[tex]$\int \frac{N(x)}{D(x)} dx$[/tex]
Se [tex]$n \ge m$[/tex] allora puoi fare la divisione tra i polinomi [tex]$N(x)$[/tex] e [tex]$D(x)$[/tex]:
[tex]$\frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$[/tex]
dove [tex]$Q(x)$[/tex] e [tex]$R(x)$[/tex] sono, rispettivamente, quoziente e resto della divisione.
Quindi l'integrale è diventato:
[tex]$\int \frac{N(x)}{D(x)} dx = \int Q(x) dx + \int \frac{R(x)}{D(x)} dx$[/tex]
_________________
Nel caso in cui [tex]$n < m$[/tex]; le cose diventano estremamente più delicate.
Se al numeratore hai proprio la derivata del denominatore, te ne puoi uscire,facilmente, con qualche integrale immediato, ma se così non è allora devi optare per Hermite o altri metodi che sono trattati, approfonditamente, su ogni buon manuale di Analisi I.
Ogni esercizio richiede i dovuti accorgimenti.
Tuttavia ci sono particolari integrali razionali risolvibili con delle tecniche piuttosto elementari.
Te ne suggerisco alcuni:
Prendi la funzione [tex]$f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$[/tex]
Chiamiamo con [tex]$n$[/tex] il grado di [tex]$N(x)$[/tex], con [tex]$m$[/tex] il grado di [tex]$D(x)$[/tex].
Quindi, supponiamo di avere l'integrale di [tex]$f(x)$[/tex], cioè:
[tex]$\int \frac{N(x)}{D(x)} dx$[/tex]
Se [tex]$n \ge m$[/tex] allora puoi fare la divisione tra i polinomi [tex]$N(x)$[/tex] e [tex]$D(x)$[/tex]:
[tex]$\frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$[/tex]
dove [tex]$Q(x)$[/tex] e [tex]$R(x)$[/tex] sono, rispettivamente, quoziente e resto della divisione.
Quindi l'integrale è diventato:
[tex]$\int \frac{N(x)}{D(x)} dx = \int Q(x) dx + \int \frac{R(x)}{D(x)} dx$[/tex]
_________________
Nel caso in cui [tex]$n < m$[/tex]; le cose diventano estremamente più delicate.
Se al numeratore hai proprio la derivata del denominatore, te ne puoi uscire,facilmente, con qualche integrale immediato, ma se così non è allora devi optare per Hermite o altri metodi che sono trattati, approfonditamente, su ogni buon manuale di Analisi I.
Grazie mille per la risposta Mathcrazy 
Il mio problema era che nel mio testo di analisi (Canuto Tabacco) si faceva riferimento al solo caso $n>=m$ senza precisare altro quindi su alcuni esercizi non sapevo come procedere!
Il mio problema era che nel mio testo di analisi (Canuto Tabacco) si faceva riferimento al solo caso $n>=m$ senza precisare altro quindi su alcuni esercizi non sapevo come procedere!
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