Integrazione di funzioni parametriche!!!
Salve, buona giornata a tutti.
Mi urge la vostra sollecita e grandiosa disponibilità e competenza.
Vengo subito al punto.
Non so se non ricordo o non l'ho mai saputo.
Come si integra una funzione parametrica?
Anticipatamente grazie.
Ervise
Mi urge la vostra sollecita e grandiosa disponibilità e competenza.
Vengo subito al punto.
Non so se non ricordo o non l'ho mai saputo.
Come si integra una funzione parametrica?
Anticipatamente grazie.
Ervise
Risposte
Fai un esempio.
Per esempio:
Un punto materiale s i muove sul piano (x,y) secondo le equazioni orarie x(t)=5*sin (8t) e y(t)=3*cos(8t).
Calcolare il tempo impiegato dal raggio vettore che va dall'origine delle coordinate al punto P per spazzare un'area pari a 30.
Grazie. Ervise.
Un punto materiale s i muove sul piano (x,y) secondo le equazioni orarie x(t)=5*sin (8t) e y(t)=3*cos(8t).
Calcolare il tempo impiegato dal raggio vettore che va dall'origine delle coordinate al punto P per spazzare un'area pari a 30.
Grazie. Ervise.
Scrivo un abbozzo di soluzione.
Fissato un istante iniziale [tex]$t_0$[/tex] ed un istante finale [tex]$t_1$[/tex], la regione [tex]$D$[/tex] spazzata dal raggio vettore nell'intervallo d'osservazione [tex]$[t_0,t_1]$[/tex] è descritta dalle equazioni:
(*) [tex]$\begin{cases} x(\tau ,t)=\tau \ 5\sin 8t\\ y(\tau ,t)=\tau \ 3\cos 8t\end{cases}$[/tex]
con [tex]$(\tau ,t)\in [0,1]\times [t_0,t_1]$[/tex]: infatti, per fissato [tex]$t\in [t_0,t_1]$[/tex], la funzione [tex]$[0,1] \ni \tau \mapsto (x(\tau ,t),y(\tau ,t)) \in \mathbb{R}^2$[/tex] descrive tutti e soli i punti appartenenti al segmento d'estremi [tex]$(0,0)$[/tex] ed [tex]$(x(t),y(t))$[/tex] (che è il tuo raggio vettore).
Per calcolare l'area della regione si può ricorrere agli integrali doppi ed al teorema di cambiamento delle variabili:
[tex]$\text{area} (D) :=\iint_D \text{d} x\ \text{d} y =\int_0^1 \int_{t_0}^{t_1} \left\lvert \frac{\partial (x,y)}{\partial (\tau ,t)} \right\rvert \ \text{d} \tau \ \text{d} t$[/tex]
in cui [tex]$\left\lvert \frac{\partial (x,y)}{\partial (\tau ,t)} \right\rvert$[/tex] è il valore assoluto dello jacobiano delle (*).
Si ha:
[tex]$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\tau ,t)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \tau} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial \tau} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 5\sin 8t & 40\tau \cos 8t \\ 3\cos 8t & -24\tau \sin 8t \end{vmatrix} =-120$[/tex]
ergo:
[tex]$\text{area} (D)=60\int_0^1\int_{t_0}^{t_1} \ \text{d} \tau \ \text{d} t=60\ (t_1-t_0)=60\ \Delta t$[/tex].
Per rispondere alla tua domanda basta imporre la condizione [tex]$\text{area} (D) =30$[/tex] e ricavare il valore di [tex]$\Delta t$[/tex].
Fissato un istante iniziale [tex]$t_0$[/tex] ed un istante finale [tex]$t_1$[/tex], la regione [tex]$D$[/tex] spazzata dal raggio vettore nell'intervallo d'osservazione [tex]$[t_0,t_1]$[/tex] è descritta dalle equazioni:
(*) [tex]$\begin{cases} x(\tau ,t)=\tau \ 5\sin 8t\\ y(\tau ,t)=\tau \ 3\cos 8t\end{cases}$[/tex]
con [tex]$(\tau ,t)\in [0,1]\times [t_0,t_1]$[/tex]: infatti, per fissato [tex]$t\in [t_0,t_1]$[/tex], la funzione [tex]$[0,1] \ni \tau \mapsto (x(\tau ,t),y(\tau ,t)) \in \mathbb{R}^2$[/tex] descrive tutti e soli i punti appartenenti al segmento d'estremi [tex]$(0,0)$[/tex] ed [tex]$(x(t),y(t))$[/tex] (che è il tuo raggio vettore).
Per calcolare l'area della regione si può ricorrere agli integrali doppi ed al teorema di cambiamento delle variabili:
[tex]$\text{area} (D) :=\iint_D \text{d} x\ \text{d} y =\int_0^1 \int_{t_0}^{t_1} \left\lvert \frac{\partial (x,y)}{\partial (\tau ,t)} \right\rvert \ \text{d} \tau \ \text{d} t$[/tex]
in cui [tex]$\left\lvert \frac{\partial (x,y)}{\partial (\tau ,t)} \right\rvert$[/tex] è il valore assoluto dello jacobiano delle (*).
Si ha:
[tex]$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\tau ,t)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \tau} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial \tau} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 5\sin 8t & 40\tau \cos 8t \\ 3\cos 8t & -24\tau \sin 8t \end{vmatrix} =-120$[/tex]
ergo:
[tex]$\text{area} (D)=60\int_0^1\int_{t_0}^{t_1} \ \text{d} \tau \ \text{d} t=60\ (t_1-t_0)=60\ \Delta t$[/tex].
Per rispondere alla tua domanda basta imporre la condizione [tex]$\text{area} (D) =30$[/tex] e ricavare il valore di [tex]$\Delta t$[/tex].
Grazie Gugo82. appena avrò un attimino di tempo me la controllo per bene e se ho qualche dubbio tornerò a disturbarti.
Di nuovo grazie.
Ervise
Di nuovo grazie.
Ervise
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