Integrazione di funzioni con finiti punti di discontinuità
Salve mi sto' arenando su una dimostrazione che a leggerla tutta sembra semplice, ma appena vado ad analizzarla da vicino .... vabbe' vado al sodo:
una funzione continua in (a,b), eccetto che in un numero finito di punti, e' integrabile (secondo Riemann).
la dimostrazione che ho fa riferimento al Giusti, cioe' l'ho copiata da li' sul quaderno...ora non saprei dire se ho trascritto male qualcosa...
dim diciamo che $ x_1
prendo un $ epsilon > 0, epsilon < d $, ora
$ J_h= [x_h-epsilon/n , x_h+epsilon/n), h=1,2,....,n $ (perche' chiuso a sinistra e aperto a destra???)
$A = U_{h=1}^n J_h$
considero la restrizione di $f(x)$ alla chiusura $ [a-b)-A $
poi mi dice che la funzione, essendo continua, e' uniformemente continua!
da qui e' tutto ok perche' se e' uniformemente continua, prendo una partizione che dipende da $delta$ che a sua volta dipende da $epsilon$ cosi' da avere
la condizione sufficiente e necessaria perche' la funzione sia integrabile, e dove vi sono i punti di discontinuità posso restringere l'intorno creato quanto voglio da poterli non considerare(giusto?).
Il vero dubbio allora e' con quale criterio dico che e' una funzione uniformemente continua??
se Heine-Cantor afferma che $f$ deve essere definita in $[a,b]$ (chiuso e limitato!), affinché la mia $f$ continua possa esserlo anche uniformemente, come e' possibile dirlo per una $f$ ristretta in $[a,b)-A$? e poi l'intervallo di partenza non era chiuso a sinistra!?! cioe', sono partito da $(a,b)$.
non riesco a "legalizzare" questi passaggi, o a vederne la logica.... lo so e' un poco imbarazzante, capisco che non e' che ad un certo momento scompare una parentesi e ne appare una per magia....ma...volevo risolvere da me, il fatto e' che non ho trovato materiale per farlo! ... quindi se avete anche solo link da suggerire (che credo sia molto più sbrigativo per voi!!!) fate pure!
un saluto
una funzione continua in (a,b), eccetto che in un numero finito di punti, e' integrabile (secondo Riemann).
la dimostrazione che ho fa riferimento al Giusti, cioe' l'ho copiata da li' sul quaderno...ora non saprei dire se ho trascritto male qualcosa...
dim diciamo che $ x_1
prendo un $ epsilon > 0, epsilon < d $, ora
$ J_h= [x_h-epsilon/n , x_h+epsilon/n), h=1,2,....,n $ (perche' chiuso a sinistra e aperto a destra???)
$A = U_{h=1}^n J_h$
considero la restrizione di $f(x)$ alla chiusura $ [a-b)-A $
poi mi dice che la funzione, essendo continua, e' uniformemente continua!
da qui e' tutto ok perche' se e' uniformemente continua, prendo una partizione che dipende da $delta$ che a sua volta dipende da $epsilon$ cosi' da avere
la condizione sufficiente e necessaria perche' la funzione sia integrabile, e dove vi sono i punti di discontinuità posso restringere l'intorno creato quanto voglio da poterli non considerare(giusto?).
Il vero dubbio allora e' con quale criterio dico che e' una funzione uniformemente continua??
se Heine-Cantor afferma che $f$ deve essere definita in $[a,b]$ (chiuso e limitato!), affinché la mia $f$ continua possa esserlo anche uniformemente, come e' possibile dirlo per una $f$ ristretta in $[a,b)-A$? e poi l'intervallo di partenza non era chiuso a sinistra!?! cioe', sono partito da $(a,b)$.
non riesco a "legalizzare" questi passaggi, o a vederne la logica.... lo so e' un poco imbarazzante, capisco che non e' che ad un certo momento scompare una parentesi e ne appare una per magia....ma...volevo risolvere da me, il fatto e' che non ho trovato materiale per farlo! ... quindi se avete anche solo link da suggerire (che credo sia molto più sbrigativo per voi!!!) fate pure!
un saluto
Risposte
salve ho inviato questa domanda, che rispetto alle altre mi sembra piuttosto semplice, senza ancora ricevere risposta.
dato che mi servirebbe chiarire al più presto volevo sapere se la domanda non si capisce, se non si capisce nulla, se e' talmente banale da essere ignorata....
cosi' che possa modificarla.
grazie!!
dato che mi servirebbe chiarire al più presto volevo sapere se la domanda non si capisce, se non si capisce nulla, se e' talmente banale da essere ignorata....
cosi' che possa modificarla.
grazie!!
Il teorema di Heine-Cantor dice che, se $f$ è una funzione continua su un insieme (non necessariamente intervallo) compatto, allora è uniformemente continua.
La scelta di estremi inclusi/esclusi sembra essere fatta per fare in modo che l'insieme su cui considerare la restrizione di $f$ sia chiuso (e dunque compatto essendo anche limitato), ma mi sembra più che altro un dettaglio tecnico e non sostanziale (basta prenderne la chiusura, eventualmente, e si risolve il problema).
La scelta di estremi inclusi/esclusi sembra essere fatta per fare in modo che l'insieme su cui considerare la restrizione di $f$ sia chiuso (e dunque compatto essendo anche limitato), ma mi sembra più che altro un dettaglio tecnico e non sostanziale (basta prenderne la chiusura, eventualmente, e si risolve il problema).
Per Heine Cantor grazie della precisazione!
comunque continuo ad essere perplesso perche' anche io ho pensato tale scelta degli estremi e' pensata per avere un insieme risultante chiuso e quindi applicare Heine-Cantor. Il problema e' che pensandoci tale insieme non mi sembra chiuso!!?!! comunque se non e' un fatto sostanziale procedero' oltre!
Grazie
comunque continuo ad essere perplesso perche' anche io ho pensato tale scelta degli estremi e' pensata per avere un insieme risultante chiuso e quindi applicare Heine-Cantor. Il problema e' che pensandoci tale insieme non mi sembra chiuso!!?!! comunque se non e' un fatto sostanziale procedero' oltre!
Grazie
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