Integrazione di funzioni a valori vettoriali
Sto studiando l'integrazione delle funzioni di una variabile reale a valori vettoriali, ossia di $F:[a,b] \rightarrow X $ dove $X$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita n.
Sto cercando una dimostrazione della disuguaglianza fondamentale, cioè data $F$ integrabile in $[a,b]$ vale
$ || \int_a^b F(x) dx || <= \int_a^b || F(x)|| dx $
per una norma qualsiasi (la dimostrazione con la norma euclidea già la conosco).
Uso come definizione $\int_a^b F(x) dx := \sum_{i=1}^n \vec a_i \int_a^b f_i(x)dx $ dove $F(x)=\sum_{i=1}^n \vec a_i f_i(x) $ e dove ${\vec a_1,...,\vec a_n}$ è una base di $X$ quindi per capirci nel caso $X=RR^n$ avrei $\int_a^b F(x) dx = ( \int_a^b f_1(x)dx,...,\int_a^b f_n(x)dx) $ con $F(x)=(f_1(x),...,f_n(x) ) $
Grazie al testo di analisi di Prodi ho scoperto che ciò si può dimostrare definendo l'integrale, a differenza di come ho fatto io (cioè come fa il De Marco che, purtroppo, non dimostra questa disuguaglianza), tramite le somme di Cauchy di $F$. Il problema è che Prodi sorvola completamente sul come far tendere a zero il parametro di finezza delle somme e cercando nel forum ho scoperto che c'è un lungo discorso dietro da fare.
Sapete come questa disuguaglianza possa essere dimostrata tramite la mia definizione per componenti senza ricorrere alle somme di Cauchy?
Grazie mille.
Sto cercando una dimostrazione della disuguaglianza fondamentale, cioè data $F$ integrabile in $[a,b]$ vale
$ || \int_a^b F(x) dx || <= \int_a^b || F(x)|| dx $
per una norma qualsiasi (la dimostrazione con la norma euclidea già la conosco).
Uso come definizione $\int_a^b F(x) dx := \sum_{i=1}^n \vec a_i \int_a^b f_i(x)dx $ dove $F(x)=\sum_{i=1}^n \vec a_i f_i(x) $ e dove ${\vec a_1,...,\vec a_n}$ è una base di $X$ quindi per capirci nel caso $X=RR^n$ avrei $\int_a^b F(x) dx = ( \int_a^b f_1(x)dx,...,\int_a^b f_n(x)dx) $ con $F(x)=(f_1(x),...,f_n(x) ) $
Grazie al testo di analisi di Prodi ho scoperto che ciò si può dimostrare definendo l'integrale, a differenza di come ho fatto io (cioè come fa il De Marco che, purtroppo, non dimostra questa disuguaglianza), tramite le somme di Cauchy di $F$. Il problema è che Prodi sorvola completamente sul come far tendere a zero il parametro di finezza delle somme e cercando nel forum ho scoperto che c'è un lungo discorso dietro da fare.
Sapete come questa disuguaglianza possa essere dimostrata tramite la mia definizione per componenti senza ricorrere alle somme di Cauchy?
Grazie mille.
Risposte
Io inizierei da [tex]$\int_a^b||F(x)||dx$[/tex] sostituendo ad [tex]$F(x)$[/tex] la definizione propria che hai richiamato, svolgendo i conti, utilizzando la diseguaglianza triangolare della norma e la diseguaglianza nota [tex]$\forall i\in\{1;\hdots;n\},\,\bigg|\int_a^bf_i(x)dx\bigg|\leq\int_a^b|f_i(x)|dx$[/tex]!
Intanto grazie. 
Non sono molto convinto del suggerimento, però: per dimostrare una disuguaglianza dovrei partire dal termine maggiore di essa per poi minorarlo?
Comunque ho provato a sfruttare la tua idea ma non mi sembra si giunga al risultato
$ ||\int_a^b F(x) dx || = || \sum_{i=1}^n \vec a_i \int_a^b f_i(x)dx || <= \sum_{i=1}^n || \vec a_i \int_a^b f_i(x)dx || = \sum_{i=1}^n || \vec a_i || | \int_a^b f_i(x)dx | <= $
$<= \sum_{i=1}^n || \vec a_i || \int_a^b |f_i(x)| dx = \int_a^b \sum_{i=1}^n || \vec a_i || |f_i(x)| dx = \int_a^b \sum_{i=1}^n || \vec a_i f_i(x)|| dx $
Ora da qui come vado avanti? Sto già al membro di destra della disuguaglianza triangolare!
Non sono molto convinto del suggerimento, però: per dimostrare una disuguaglianza dovrei partire dal termine maggiore di essa per poi minorarlo?
Comunque ho provato a sfruttare la tua idea ma non mi sembra si giunga al risultato
$ ||\int_a^b F(x) dx || = || \sum_{i=1}^n \vec a_i \int_a^b f_i(x)dx || <= \sum_{i=1}^n || \vec a_i \int_a^b f_i(x)dx || = \sum_{i=1}^n || \vec a_i || | \int_a^b f_i(x)dx | <= $
$<= \sum_{i=1}^n || \vec a_i || \int_a^b |f_i(x)| dx = \int_a^b \sum_{i=1}^n || \vec a_i || |f_i(x)| dx = \int_a^b \sum_{i=1}^n || \vec a_i f_i(x)|| dx $
Ora da qui come vado avanti? Sto già al membro di destra della disuguaglianza triangolare!
Secondo me con la definizione dell'integrale per componenti non vai da nessuna parte, Leonardo. Il punto è che mentre la norma euclidea ha la sfera unitaria "messa bene" rispetto agli assi, esistono norme in cui questa proprietà non è verificata e ragionando per componenti succedono cose bislacche riguardo alle disuguaglianze. Mi spiego.
Le norme su $RR^n$ (o anche $CC^n$) tali che $||v||<=||u||$ ogniqualvolta $|v_i|<=|u_i|, i=1, 2, ..., n$ si dicono monotone; si dimostra che esse sono tutte e sole le norme tali che $||v||=||(|v_1|, |v_2|, ..., |v_n|)||$. Guarda qui che esempio di norma ha sfornato il nostro ViciousGoblin: questa norma non è monotona, e la vedo dura dimostrare una disuguaglianza tra norme partendo da una disuguaglianza sulle singole componenti, con una cosa del genere. Con una norma monotona, invece, potresti avere più successo, ma non so quanto valga la pena.
______________
La dimostrazione secondo me più semplice del risultato in questione fa uso del concetto di densità. Cominciamo con il definire una funzione a scala (step function): se $I$ è un intervallo, una funzione $s: I \to RR^n$ si dice a scala se esiste una partizione di $I$ in intervallini $I_1...I_m$ tale che $s$ è costante su ogni intervallino. Detta $chi_{I_j}(t)={(1, t \in I_j), (0, "altrimenti"):}$, possiamo scrivere
$s(t)=\sum_{j=1}^mc_jchi_{I_j}(t)$.
Le funzioni a scala formano un sottospazio vettoriale delle funzioni integrabili secondo Riemann. (D'ora in poi assumiamo $I$ compatto: $I=[a, b]$). Si dimostra, con un livello di difficoltà che va dal "totalmente ovvio" al "difficilissimo" a seconda delle definizioni adottate, che questo sottospazio è uniformemente denso: ogni funzione integrabile secondo Riemann è limite uniforme di una successione di funzioni a scala.
L'integrale di una funzione a scala si calcola subito:
$int_a^b s(t)\ "d"t=\sum_{j=1}^mc_j "m"(I_j)$, dove $"m"$ indica la misura di ogni intervallino: $"m" ( [alpha, beta])=beta-alpha$.
E' anche facile vedere che la disuguaglianza cercata è verificata dalle funzioni a scala, che la norma sia monotona o no. Sia dunque $f: I \to RR^n$ integrabile. Possiamo prendere una successione $s_n$ di funzioni a scala tale che $s_n(t)\tof(t)$ uniformemente per ogni $t\in I$. Per quanto detto risulta
$||int_a^b s_n(t)\ "d"t || <= int_a^b ||s_n(t)||\ "d"t$;
possiamo prolungare questa disuguaglianza al limite:
$lim_{n \to \infty}||int_a^b s_n(t)\ "d"t ||<= lim_{n \to \infty} int_a^b ||s_n(t)||\ "d"t$
e usando il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e la continuità della norma, riscrivere l'ultima come
$||int_a^b lim_{n\to infty}s_n(t)\ "d"t||<= int_a^b\ || lim_{n\to infty} s_n(t) ||\ "d"t$
che è la tesi. /////
Questa maniera di procedere è naturale se si definisce l'integrale sullo spazio delle funzioni a scala e poi lo si estende facendo uso di teoremi di prolungamento, un approccio di tipo funzionale alla teoria dell'integrazione. E' interessantissimo notare come questa costruzione produca gli integrali di Riemann o di Lebesgue a seconda del tipo di convergenza adottata. Per ulteriori informazioni puoi consultare Lang Undergraduate analysis per le basi e sempre Lang Real and functional analysis per gli approfondimenti.
_______________
P.S.: Ho dato una rilettura e mi pare che non ci siano errori, ma dato l'orario non ci scommetterei troppo! Nel caso qualcosa non quadri ti prego di segnalarlo. Grazie.
Le norme su $RR^n$ (o anche $CC^n$) tali che $||v||<=||u||$ ogniqualvolta $|v_i|<=|u_i|, i=1, 2, ..., n$ si dicono monotone; si dimostra che esse sono tutte e sole le norme tali che $||v||=||(|v_1|, |v_2|, ..., |v_n|)||$. Guarda qui che esempio di norma ha sfornato il nostro ViciousGoblin: questa norma non è monotona, e la vedo dura dimostrare una disuguaglianza tra norme partendo da una disuguaglianza sulle singole componenti, con una cosa del genere. Con una norma monotona, invece, potresti avere più successo, ma non so quanto valga la pena.
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La dimostrazione secondo me più semplice del risultato in questione fa uso del concetto di densità. Cominciamo con il definire una funzione a scala (step function): se $I$ è un intervallo, una funzione $s: I \to RR^n$ si dice a scala se esiste una partizione di $I$ in intervallini $I_1...I_m$ tale che $s$ è costante su ogni intervallino. Detta $chi_{I_j}(t)={(1, t \in I_j), (0, "altrimenti"):}$, possiamo scrivere
$s(t)=\sum_{j=1}^mc_jchi_{I_j}(t)$.
Le funzioni a scala formano un sottospazio vettoriale delle funzioni integrabili secondo Riemann. (D'ora in poi assumiamo $I$ compatto: $I=[a, b]$). Si dimostra, con un livello di difficoltà che va dal "totalmente ovvio" al "difficilissimo" a seconda delle definizioni adottate, che questo sottospazio è uniformemente denso: ogni funzione integrabile secondo Riemann è limite uniforme di una successione di funzioni a scala.
L'integrale di una funzione a scala si calcola subito:
$int_a^b s(t)\ "d"t=\sum_{j=1}^mc_j "m"(I_j)$, dove $"m"$ indica la misura di ogni intervallino: $"m" ( [alpha, beta])=beta-alpha$.
E' anche facile vedere che la disuguaglianza cercata è verificata dalle funzioni a scala, che la norma sia monotona o no. Sia dunque $f: I \to RR^n$ integrabile. Possiamo prendere una successione $s_n$ di funzioni a scala tale che $s_n(t)\tof(t)$ uniformemente per ogni $t\in I$. Per quanto detto risulta
$||int_a^b s_n(t)\ "d"t || <= int_a^b ||s_n(t)||\ "d"t$;
possiamo prolungare questa disuguaglianza al limite:
$lim_{n \to \infty}||int_a^b s_n(t)\ "d"t ||<= lim_{n \to \infty} int_a^b ||s_n(t)||\ "d"t$
e usando il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e la continuità della norma, riscrivere l'ultima come
$||int_a^b lim_{n\to infty}s_n(t)\ "d"t||<= int_a^b\ || lim_{n\to infty} s_n(t) ||\ "d"t$
che è la tesi. /////
Questa maniera di procedere è naturale se si definisce l'integrale sullo spazio delle funzioni a scala e poi lo si estende facendo uso di teoremi di prolungamento, un approccio di tipo funzionale alla teoria dell'integrazione. E' interessantissimo notare come questa costruzione produca gli integrali di Riemann o di Lebesgue a seconda del tipo di convergenza adottata. Per ulteriori informazioni puoi consultare Lang Undergraduate analysis per le basi e sempre Lang Real and functional analysis per gli approfondimenti.
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P.S.: Ho dato una rilettura e mi pare che non ci siano errori, ma dato l'orario non ci scommetterei troppo! Nel caso qualcosa non quadri ti prego di segnalarlo. Grazie.
Grazie mille dissonance. 
La tua risposta è stata chiarificatrice. Insomma, tutti i libri italiani per i primi due anni di università se ne fregano degli integrali di funzioni a valori vettoriali (salvo poi usarli per curve ed equazioni differenziali) o, se li introducono, la fanno con una definizione per componenti che dovrebbe essere un teorema. Ho dato un'occhiata al Lang Undergraduate analysis, infatti, ed ho visto come sta la questione. Ma questo libro negli USA viene usato per la triennale? Possibile? Cioè dubito che lo usino come primo corso per analisi 1-2...
Interessante la questione sulle norme: comunque hai ragione, solo per le norme monotone non ne vale proprio la pena.
P.S. Giusto per curiosità (e se il discorso non si complica troppo) dalla mia definizione per componenti sembra che non ce ne sia bisogno ma seguendo la definizione per funzioni a scala del Lang sembra che la completezza dello spazio vettoriale sia indispensabile. Sbaglio?
La tua risposta è stata chiarificatrice. Insomma, tutti i libri italiani per i primi due anni di università se ne fregano degli integrali di funzioni a valori vettoriali (salvo poi usarli per curve ed equazioni differenziali) o, se li introducono, la fanno con una definizione per componenti che dovrebbe essere un teorema. Ho dato un'occhiata al Lang Undergraduate analysis, infatti, ed ho visto come sta la questione. Ma questo libro negli USA viene usato per la triennale?
Possibile? Cioè dubito che lo usino come primo corso per analisi 1-2...Interessante la questione sulle norme: comunque hai ragione, solo per le norme monotone non ne vale proprio la pena.
P.S. Giusto per curiosità (e se il discorso non si complica troppo) dalla mia definizione per componenti sembra che non ce ne sia bisogno ma seguendo la definizione per funzioni a scala del Lang sembra che la completezza dello spazio vettoriale sia indispensabile. Sbaglio?
Il mio è stato un suggerimento innocuo, il primo che mi è balenato in mente! Mi spiace che non funzioni; il Cecconi-Stampacchia (se non mi sbagliassi col titolo) II potrebbe aiutarti visto che tratta per la maggiore di campi vettoriali.
Figurati, non preoccuparti! 
Anzi, il tuo suggerimento (ed il mio seguente tentativo) è servito come riprova del fatto che, come diceva dissonance, la definizione per componenti non va bene.
Anzi, il tuo suggerimento (ed il mio seguente tentativo) è servito come riprova del fatto che, come diceva dissonance, la definizione per componenti non va bene.
Scusate il ritardo ragazzi! Questo weekend me ne sono andato al mare, non ce la facevo più.
Tu mi dirai: ok, io ho assunto la completezza di $RR$ ma non dello spazio di dimensione finita nel quale voglio definire l'integrale.
Ma dalla completezza di $RR$ discende anche la completezza di $RR^n$ e da questa la completezza di ogni spazio di dimensione finita. Anche se indirettamente, hai operato in ipotesi di completezza.
Nota che Lang non suppone che lo spazio in questione abbia dimensione finita, ecco perché richiede esplicitamente la completezza.
Se questioni come questa ti appassionano, ti consiglio vivamente di iscriverti ad un corso di Analisi Funzionale.
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(*) Tra l'altro è adottata anche su alcuni libri americani, ad esempio sul Rudin Principles of mathematical analysis.
"Leonardo89":Spezzo una lancia in favore dei libri italiani. La definizione per componenti non è poi così male, è veloce e tutto sommato non presenta grossi inconvenienti (*). Sì, c'è questa storia delle norme, ma su $RR^n$ l'unica norma che serve all'analisi (per quello che ne so io) è quella euclidea, alla quale tutte le altre sono equivalenti; norme diverse si usano in contesti applicati, per esempio nel calcolo numerico.
Grazie mille dissonance.
La tua risposta è stata chiarificatrice. Insomma, tutti i libri italiani per i primi due anni di università se ne fregano degli integrali di funzioni a valori vettoriali (salvo poi usarli per curve ed equazioni differenziali) o, se li introducono, la fanno con una definizione per componenti che dovrebbe essere un teorema.
Ho dato un'occhiata al Lang Undergraduate analysis, infatti, ed ho visto come sta la questione. Ma questo libro negli USA viene usato per la triennale?Infatti non lo usano come primo corso, è un libro indirizzato a studenti "who have had two years of Calculus". Gli americani hanno questa materia "Calculus" che da noi non c'è e si studia nei primi anni. Se ci fai caso la prima sezione del libro di Lang si chiama "Review of Calculus" ed è un riassunto di argomenti del nostro Analisi I (inteso come "analisi del primo anno"). C'è anche l'integrale di Riemann con le somme superiori e inferiori, più l'avvertenza: "nel capitolo X svilupperemo questa teoria in modo più sistematico".
P.S. Giusto per curiosità (e se il discorso non si complica troppo) dalla mia definizione per componenti sembra che non ce ne sia bisogno ma seguendo la definizione per funzioni a scala del Lang sembra che la completezza dello spazio vettoriale sia indispensabile. Sbaglio?Strettamente parlando non sbagli; in realtà anche tu hai usato la completezza nel definire l'integrale su $RR$, quando hai parlato di "somme superiori" ed "inferiori" e del loro elemento di separazione: se avessi avuto $QQ$ in luogo di $RR$, chi ti avrebbe garantito che un tale elemento esiste?
Tu mi dirai: ok, io ho assunto la completezza di $RR$ ma non dello spazio di dimensione finita nel quale voglio definire l'integrale.
Ma dalla completezza di $RR$ discende anche la completezza di $RR^n$ e da questa la completezza di ogni spazio di dimensione finita. Anche se indirettamente, hai operato in ipotesi di completezza.
Nota che Lang non suppone che lo spazio in questione abbia dimensione finita, ecco perché richiede esplicitamente la completezza.
Se questioni come questa ti appassionano, ti consiglio vivamente di iscriverti ad un corso di Analisi Funzionale.
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(*) Tra l'altro è adottata anche su alcuni libri americani, ad esempio sul Rudin Principles of mathematical analysis.
Grazie 1000 ancora, dissonance, sei stato chiarissimo, spero che ti sia goduto il mare!
Riguardo l'Analisi Funzionale, ti assicuro che ci farò un pensierino...
Riguardo l'Analisi Funzionale, ti assicuro che ci farò un pensierino...
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