Integrazione complessa con Cauchy

[nisgh1]

Salve a tutti!
quesito..

ho un' integrazione complessa:

integrale in gamma di e^z/(4z-1)^2
con gamma(t)=e^it
con t tra [0,2pigreco]

Avrei detto che è olomorfa all'interno del cerchio di raggio 1 incentrata in z=0, tranne che nel punto di dominio z=1/4

se così fosse,per calcolarlo con la formula di Cauchy per le derivate, devo considerare la zeta zero del mio integrale = 1/4?
e dunque dire che derivata prima di zeta zero è = 1/2pigreco i per integrale di fz/z-z0 ???

Spero si sia capito..scusatemi
e grazie in anticipo!!!

[pat871]

Abbiamo che

$int_{gamma} (e^z)/(4z-1)^2 dz$

dove $gamma (t) = e^(it)$, $t in [0, 2 pi]$

Per applicare la formula di Cauchy, devi portare l'integrale nella forma

$int_{gamma} f(z)/(z- z_0)^2 dz$

con $f(z)$ olomorfa nel cerchio e $z_0$ dentro il tuo cerchio.

Ma in questo caso abbiamo che $z_0 = 1/4$ è nel cerchio, e $f(z) = (e^z)/16$ è la funzione olomorfa che cerchi.

In questo caso:

$2 pi i *f'(z_0) = int_{gamma} f(z)/(z-z_0)^2 dz$

e quindi

$int_{gamma} (e^z)/(4z-1)^2 dz = 2 pi i * 1/16 e^(1/4) = pi/8 e^(1/4)*i$

[nisgh1]

Grazie!!!