Integrazione complessa
ciao a tutti sto cominciando a fare integrali nel campo $\C$
non mi è chiara una cosa: di solito si integra in un semicerchio positivo o negativo, poi si usa il teorema dei residui compresi nella curva. Mi è capitato di vedere un esercizio svolto nel quale si utilizzava un cammino rettangolare. Quindi mi chiedevo, in base a cosa scelgo il cammino d integrazione?
Ad esempio ho
$int_(-infty)^(infty) e^(2x)/(e^(3x)+1)^2$
con poli $z=ipi/3 (1+2k)$
perchè va scelto, appunto, un cammino rettangolare?
non mi è chiara una cosa: di solito si integra in un semicerchio positivo o negativo, poi si usa il teorema dei residui compresi nella curva. Mi è capitato di vedere un esercizio svolto nel quale si utilizzava un cammino rettangolare. Quindi mi chiedevo, in base a cosa scelgo il cammino d integrazione?
Ad esempio ho
$int_(-infty)^(infty) e^(2x)/(e^(3x)+1)^2$
con poli $z=ipi/3 (1+2k)$
perchè va scelto, appunto, un cammino rettangolare?
Risposte
La scelta del cammino dipende essenzialmente dalla funzione integranda.
Nel caso dell'esponenziale, la scelta di un cammino rettangolare può aiutare perché l'esponenziale complesso è periodico di periodo \(2\pi\ \imath\); pertanto di solito si scelgono cammini costituiti da rettangoli aventi altezza $2\pi$.
Nel caso dell'esponenziale, la scelta di un cammino rettangolare può aiutare perché l'esponenziale complesso è periodico di periodo \(2\pi\ \imath\); pertanto di solito si scelgono cammini costituiti da rettangoli aventi altezza $2\pi$.
grazie mille per la risposta. Nel esercizio sopra citato il mio prof sceglie un rettangolo di altezza $2/3pi$, come mai?
forse per comprendere all interno solo il primo polo, $z=ipi/3$?
un ultima domanda: si hanno infiniti residui nel semipiano superiore.. perchè è lecito prenderne solo uno?
forse per comprendere all interno solo il primo polo, $z=ipi/3$?
un ultima domanda: si hanno infiniti residui nel semipiano superiore.. perchè è lecito prenderne solo uno?
"eos.s":
grazie mille per la risposta. Nel esercizio sopra citato il mio prof sceglie un rettangolo di altezza $2/3pi$, come mai?
Beh, se $e^z$ ha periodo \(2\pi \imath\), quanto sarà il periodo di $e^{3z}$?
"eos.s":
un ultima domanda: si hanno infiniti residui nel semipiano superiore.. perchè è lecito prenderne solo uno?
Perché per calcolare l'integrale di una razionale con poli coniugati sull'asse immaginario puoi scegliere di integrare anche su una sola metà di circonferenza?
riguardo la prima risposta è $T=2pi/\omega$ quindi come abbiamo detto $2pi/3$ 
mentre riguardo la seconda non ho molto chiaro il concetto..
mentre riguardo la seconda non ho molto chiaro il concetto..
Che libro usi?
"matematica per l ingegneria dell informazione" di Barozzi
Ohmammamia... Grazie che non capisci come si scelgono i cammini d'integrazione!
Su quel libro butta lì la formula senza spiegarla.
Ad ogni modo, la scelta del cammino di integrazione dipende essenzialmente dall'uso che viene fatto di teoremi di passaggio al limite per gli integrali complessi, tipo i due lemmi di Jordan.
L'idea, raccontata in maniera molto rozza, è la seguente.
Nel caso di funzioni razionali si scelgono archi di circonferenza per applicare i lemmi e la scelta tra sopra/sotto l'asse reale è abbastanza indifferente.
Invece, quando una funzione razionale è modulata da un esponenziale tipo $e^{ax}$, bisogna scegliere o l'arco sopra o l'arco sotto a seconda del comportamento dell'esponenziale all'infinito nella direzione dell'asse immaginario, ed il comportamento di $e^{az}$ dipende dal segno di $a$. Quindi a seconda del segno di $a$ si prendono archi grandi sopra all'asse reale o sotto l'asse reale, altrimenti i lemmi di Jordan non funzionano.
Su quel libro butta lì la formula senza spiegarla.
Ad ogni modo, la scelta del cammino di integrazione dipende essenzialmente dall'uso che viene fatto di teoremi di passaggio al limite per gli integrali complessi, tipo i due lemmi di Jordan.
L'idea, raccontata in maniera molto rozza, è la seguente.
Nel caso di funzioni razionali si scelgono archi di circonferenza per applicare i lemmi e la scelta tra sopra/sotto l'asse reale è abbastanza indifferente.
Invece, quando una funzione razionale è modulata da un esponenziale tipo $e^{ax}$, bisogna scegliere o l'arco sopra o l'arco sotto a seconda del comportamento dell'esponenziale all'infinito nella direzione dell'asse immaginario, ed il comportamento di $e^{az}$ dipende dal segno di $a$. Quindi a seconda del segno di $a$ si prendono archi grandi sopra all'asse reale o sotto l'asse reale, altrimenti i lemmi di Jordan non funzionano.
Infatti questo concetto mi rimane molto ostico, proprio perche non trovo una spiegazione chiara nemmeno su internet.
La ringrazio per la risposta, ora comincio a capire a capire il meccanismo.
La ringrazio per la risposta, ora comincio a capire a capire il meccanismo.
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