Integrazione

[ElCastigador]

Dire se la seguente affermazione è vera o falsa motivando la risposta con dimostrazione o controesempio:

-Per a,b appartenenti a R si ha:f è integrabile in [a,b] $ rArr $ |f| è integrabile in [a,b]

Come posso verificare se è vero o falso?I miei dubbi nascono perchè non ho capito bene in generale come posso verificare se una funzione è integrabile in un intervallo

[Rigel1]

Puoi provare a dimostrare che, se \(f\) è integrabile in \([a,b]\), allora anche la sua parte positiva e negativa lo sono.

[ElCastigador]

Non so proprio come fare proprio perchè non ho ben capito il concetto di integrazione,in particolare come si fa a dimostrare che una funzione è integrabile

[gennarosdc]

"Rigel":Puoi provare a dimostrare che, se \(f\) è integrabile in \([a,b]\), allora anche la sua parte positiva e negativa lo sono.

Sappiamo per definizione che una f è integrabile in [a,b] se i limiti delle somme integrali Sn e sn coincidono ..ma non saprei come continuare anche se divido gli intervalli o qualcosa del genere..

[jitter1]

"gennarosdc":
Sappiamo per definizione che una f è integrabile in [a,b] se i limiti delle somme integrali Sn e sn coincidono ..ma non saprei come continuare anche se divido gli intervalli o qualcosa del genere..

... così?

1) Dall'ipotesi discende direttamente che $f(x)$ è integrabile in ogni intervallo in cui è positiva (cioè in cui $f(x) = |f(x)|$.
2) Sia $f(x)$ negativa su un intervallo [c, d]. Poiché per ipotesi $f(x)$ è integrabile, vale

inf $ {int_(c)^(d) \phi(x) dx }$= sup ${int_(c)^(d) \psi(x) dx } $, dove le $\phi$ sono tutte le funzioni a scala superiori e le $\psi$ tutte le funzioni a scala inferiori.

Si ha anche $- \phi < - f$ e $- \psi > - f$, pertanto $- \phi$ è funzione a scala inferiore per $-f<$ e - $\psi$ è funzione a scala superiore per $-f$. Inoltre:

inf $ {int_(c)^(d) \phi(x) dx }$= sup ${int_(c)^(d) - \phi(x) dx } $ (di questo non sono sicura: ditemi se vi pare corretto)

sup $ {int_(c)^(d) \psi(x) dx }$= inf$ {int_(c)^(d) - \psi(x) dx }$

da cui
sup ${int_(c)^(d) - \phi(x) dx }$ = inf ${int_(c)^(d) - \psi(x) dx }$.

Ciò significa che in ogni intervallo in cui $f$ è positiva la $|f|$ è integrabile, e in ogni intervallo in cui $f$ è negativa la $|f|$ è intervabile [haha, che refuso ]... è integrabile. Un giro di parole per dire che $|f|$è integrabile in ogni intervallo, cioè è integrabile.

[sapo931]

Ciao, ti avevo già risposto in un topic uguale. Cerca di non aprire più messaggi con la stessa domanda.