Integrare un cono
Ciao a tutti ragazzi, ho bisogno di una mano con un semplice integrale triplo:
Devo calcolare la misura dell'insieme $ E ={ (x,y,z) in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 < 1 , z^2 < x^2 + y^2} $
In altre parole:
$m(E) = int int int_(E)dx dy dz $
In coordinate sferiche:
$ Sfer(E) = { (r, theta, psi) | 0<=r<=1 , pi/4<=psi<=pi/2} $
Il determinante della matrice cambiamento di base è banalmente $ r^2 sin(psi) $
Il mio problema diviene:
$ m(E) = 2 pi int_(pi/4) ^(pi/2) sin(psi) dpsi int_0 ^1 r^2 d r $
Di soluzione $ m(E) = sqrt(2) * pi / 3 $
Quatto volte più grande della volume ricavabile dalla geometria solida per un cono di altezza e raggio $ sqrt(2)/2 $ !
Ditemi cosa sbaglio
Devo calcolare la misura dell'insieme $ E ={ (x,y,z) in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 < 1 , z^2 < x^2 + y^2} $
In altre parole:
$m(E) = int int int_(E)dx dy dz $
In coordinate sferiche:
$ Sfer(E) = { (r, theta, psi) | 0<=r<=1 , pi/4<=psi<=pi/2} $
Il determinante della matrice cambiamento di base è banalmente $ r^2 sin(psi) $
Il mio problema diviene:
$ m(E) = 2 pi int_(pi/4) ^(pi/2) sin(psi) dpsi int_0 ^1 r^2 d r $
Di soluzione $ m(E) = sqrt(2) * pi / 3 $
Quatto volte più grande della volume ricavabile dalla geometria solida per un cono di altezza e raggio $ sqrt(2)/2 $ !
Ditemi cosa sbaglio
Risposte
sei sicuro della disuguaglianza $z^2 < x^2 + y^2$? stai imponendo che le circonferenze abbiano raggio maggiore di z, mentre per il cono la disuguaglianza dovrebbe avere verso opposto. prova a calcolare il volume della semisfera e sottrarre quello che hai trovato tu
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