Integrare su un quadrato in coordinate polari
Buongiorno a tutti ho un dubbio riguardo la possibilità di usare le coordinate polari su domini "spigolosi".
L'esercizio in questione è
l'integrale su E=[1,2]x[1,2] di $ int_E x/(x^2+y^2) dx dy $.
Come si vede il dominio di integrazione è un simpaticissimo quadrato e la simmetria radiale dell'integranda ci suggerisce di passare alle coordinate polari.
L'integrale dovrebbe venire una cosa del tipo $ int_(\theta_{min})^(\theta_{max}) int_(\rho/ cos(\theta))^(2\rho/ cos(\theta) ) d\rhod\theta cos(\theta) $
dopo aver impostato questa cosa mi sono messo a cercare i thetamax e thetamin e qui inizia il casino.
Il thetamin è l'angolo compreso tra l'asse x e il segmento che collega l'origine con lo spigolo basso a destra (2;1) e il thetamax è l'angolo compreso tra l'asse x e lo spigolo alto sinistra (1;2). Tutto molto bello, senonchè la parte di piano così considerata è notevolmente più ampia del quadrato e difatti la soluzione l'integrale sopra scritto non coincide con la soluzione dell'integrale in coordinate cartesiane.
Alla fine della fiera la domanda è: si possono usare le coordinate polari per domini così "spigolosi" come quadrati rettangoli, rombi e via dicendo?
Si può dire meglio e stabilire una regola per non sbagliare più?
ps (alla fine l'esercizio l'ho svolto in coordinate cartesiane imprecando per via dell'integrale antipatico e mi viene giusto)
L'esercizio in questione è
l'integrale su E=[1,2]x[1,2] di $ int_E x/(x^2+y^2) dx dy $.
Come si vede il dominio di integrazione è un simpaticissimo quadrato e la simmetria radiale dell'integranda ci suggerisce di passare alle coordinate polari.
L'integrale dovrebbe venire una cosa del tipo $ int_(\theta_{min})^(\theta_{max}) int_(\rho/ cos(\theta))^(2\rho/ cos(\theta) ) d\rhod\theta cos(\theta) $
dopo aver impostato questa cosa mi sono messo a cercare i thetamax e thetamin e qui inizia il casino.
Il thetamin è l'angolo compreso tra l'asse x e il segmento che collega l'origine con lo spigolo basso a destra (2;1) e il thetamax è l'angolo compreso tra l'asse x e lo spigolo alto sinistra (1;2). Tutto molto bello, senonchè la parte di piano così considerata è notevolmente più ampia del quadrato e difatti la soluzione l'integrale sopra scritto non coincide con la soluzione dell'integrale in coordinate cartesiane.
Alla fine della fiera la domanda è: si possono usare le coordinate polari per domini così "spigolosi" come quadrati rettangoli, rombi e via dicendo?
Si può dire meglio e stabilire una regola per non sbagliare più?
ps (alla fine l'esercizio l'ho svolto in coordinate cartesiane imprecando per via dell'integrale antipatico e mi viene giusto)
Risposte
Certo che puoi usarle, ma ovviamente le cose, come hai osservato, si complicano nel calcolo delle limitazioni.
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