Integrare su un disco (analisi complessa)
Allora, nel corso del corso di analisi complessa si è vista la formula integrale di Cauchy nel disco e la formula generica per integrare una funzione su una curva chiusa.
La "suddetta" formula, è la seguente.
$\int _{\gamma} f(z) dz = \int _ a ^b f(\gamma(t)) \gamma ' (t) dt$ dove $\gamma$ è una curva parametrizzata ($\gamma: \RR \to \CC$)
né più né meno di quanto si fa con gli integrali curvilinei.
Il punto è che non ho mai avuto un integrale "generico" da calcolare su una curva. Fino ad ora si è trattato di integrali del tipo "$f(z)/z$" che si risolvono in 2 passaggi con la formula integrale di Cauchy.
Mi è capitato questo $int_\gamma (e^z)/(z^2-1) dz$ dove $\gamma è |z|=2$. Ci ho provato con la formula integrale ma vuoto totale, allora mi dico, "che sarà mai risolverlo in modo generico?"
Parametrizzo: $t\in [0,1]$ e $\gamma = \gamma (t) := ( 2cos(2\pi t), 2sin(2\pi t) )$
ottenendo $\int_0 ^1 ( e^( 2cos(2\pi t)+ 2 i sin(2\pi t))/ ( 4cos^2 (2\pi t)+ 4(i^2) sin^2 (2\pi t)-1) ( -2sin(2\pi t)+ 2i cos(2\pi t) ) dt = \int_0 ^1 (e^( 2cos(2\pi t)+ 2 i sin(2\pi t))/ ( 4cos^2 (2\pi t) - 4sin^2 (2\pi t)-1) ( -2sin(2\pi t)+ 2i cos(2\pi t) ) dt$
La mia domanda è questa (prima di andare avanti):
- va bene come ho scritto?
Poi, per andare avanti, ho pensato di razionalizzare il denominatore e spezzare l'integrale dividendo i vari integrali di parti reali e quelli con parte immaginaria
La "suddetta" formula, è la seguente.
$\int _{\gamma} f(z) dz = \int _ a ^b f(\gamma(t)) \gamma ' (t) dt$ dove $\gamma$ è una curva parametrizzata ($\gamma: \RR \to \CC$)
né più né meno di quanto si fa con gli integrali curvilinei.
Il punto è che non ho mai avuto un integrale "generico" da calcolare su una curva. Fino ad ora si è trattato di integrali del tipo "$f(z)/z$" che si risolvono in 2 passaggi con la formula integrale di Cauchy.
Mi è capitato questo $int_\gamma (e^z)/(z^2-1) dz$ dove $\gamma è |z|=2$. Ci ho provato con la formula integrale ma vuoto totale, allora mi dico, "che sarà mai risolverlo in modo generico?"
Parametrizzo: $t\in [0,1]$ e $\gamma = \gamma (t) := ( 2cos(2\pi t), 2sin(2\pi t) )$
ottenendo $\int_0 ^1 ( e^( 2cos(2\pi t)+ 2 i sin(2\pi t))/ ( 4cos^2 (2\pi t)+ 4(i^2) sin^2 (2\pi t)-1) ( -2sin(2\pi t)+ 2i cos(2\pi t) ) dt = \int_0 ^1 (e^( 2cos(2\pi t)+ 2 i sin(2\pi t))/ ( 4cos^2 (2\pi t) - 4sin^2 (2\pi t)-1) ( -2sin(2\pi t)+ 2i cos(2\pi t) ) dt$
La mia domanda è questa (prima di andare avanti):
- va bene come ho scritto?
Poi, per andare avanti, ho pensato di razionalizzare il denominatore e spezzare l'integrale dividendo i vari integrali di parti reali e quelli con parte immaginaria
Risposte
Se non sei costretto ad eseguire il calcolo esplicito, puoi applicare il teorema dei residui.
No, non va bene come hai scritto: se $z=2[\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t)]$ allora
[tex]$z^2-1=4[\cos^2(2\pi t)-\sin^2(2\pi t)+2i\cos(2\pi t)\sin(2\pi t)]-1=4[\cos(4\pi t)+i\sin(4\pi t)]-1$[/tex]
E poi manca un $2$ quando calcoli il differenziale: [tex]$dz=4[-\sin(2\pi t)+i\cos(2\pi t)]\ dt$[/tex].
In ogni caso, credo che il teorema dei Residui sia la strada migliore.
[tex]$z^2-1=4[\cos^2(2\pi t)-\sin^2(2\pi t)+2i\cos(2\pi t)\sin(2\pi t)]-1=4[\cos(4\pi t)+i\sin(4\pi t)]-1$[/tex]
E poi manca un $2$ quando calcoli il differenziale: [tex]$dz=4[-\sin(2\pi t)+i\cos(2\pi t)]\ dt$[/tex].
In ogni caso, credo che il teorema dei Residui sia la strada migliore.
"ciampax":
No, non va bene come hai scritto: se $z=2[\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t)]$ allora
[tex]$z^2-1=4[\cos^2(2\pi t)-\sin^2(2\pi t)+2i\cos(2\pi t)\sin(2\pi t)]-1=4[\cos(4\pi t)+i\sin(4\pi t)]-1$[/tex]
E poi manca un $2$ quando calcoli il differenziale: [tex]$dz=4[-\sin(2\pi t)+i\cos(2\pi t)]\ dt$[/tex].
In ogni caso, credo che il teorema dei Residui sia la strada migliore.
Grazie per la correzione, mi erano sfuggiti questi dettagli.
@speculor: hai ragione, col teorema dei residui ci ho messo meno di 5 minuti (ci sono 2 poli semplici e sono entrambi all'interno del disco).
Però quando ho tempo, voglio provarci alla vecchia maniera.
Grazie ad entrambi
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