Integrare rispetto a cosa? problema di cauchy
Ho un problema di Cauchy ai valori iniziali in cui non capisco rispetto a cosa integrare se rispetto alla x o rispetto alla y
$y'=y^3/(x^2+4)$
$y(0)=-2$
è l'integrale che mi mette in difficoltà!
Suggerimenti?
stefano
$y'=y^3/(x^2+4)$
$y(0)=-2$
è l'integrale che mi mette in difficoltà!
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stefano
Risposte
"stefanofet":
Ho un problema di Cauchy ai valori iniziali in cui non capisco rispetto a cosa integrare se rispetto alla x o rispetto alla y
$y'=y^3/(x^2+4)$
$y(0)=-2$
è l'integrale che mi mette in difficoltà!
Suggerimenti?
stefano
Se la derivata di $y$ è rispetto a $x$ devi integrare rispetto a $x$.
Non ho capito bene però con quale metodo tu voglia risolvere il problema.
Potresti ad esempio scrivere $y(x)=z(x)^(-1/2)$ cosicchè $-( z'(x) )/2=1/(x^2+4)$...
E' a variabili separabili :
$dy/dx = y^3/(x^2+4) $ da cui :
$dy/y^3 = dx/(x^2+4)$, integrando ambo i membri ottieni:
$-1/(2y^2) = (1/2)arctg(x/2) +C $
Ma deve essere $y(0) = -2 $ e quindi : $C = -1/8$ e in conclusione :
$ y = -sqrt(1/(arctg(x/2)+(1/4))) $
$dy/dx = y^3/(x^2+4) $ da cui :
$dy/y^3 = dx/(x^2+4)$, integrando ambo i membri ottieni:
$-1/(2y^2) = (1/2)arctg(x/2) +C $
Ma deve essere $y(0) = -2 $ e quindi : $C = -1/8$ e in conclusione :
$ y = -sqrt(1/(arctg(x/2)+(1/4))) $
"carlo23":
[quote="stefanofet"]Ho un problema di Cauchy ai valori iniziali in cui non capisco rispetto a cosa integrare se rispetto alla x o rispetto alla y
$y'=y^3/(x^2+4)$
$y(0)=-2$
è l'integrale che mi mette in difficoltà!
Suggerimenti?
stefano
Se la derivata di $y$ è rispetto a $x$ devi integrare rispetto a $x$.
Non ho capito bene però con quale metodo tu voglia risolvere il problema.
Potresti ad esempio scrivere $y(x)=z(x)^(-1/2)$ cosicchè $-( z'(x) )/2=1/(x^2+4)$...[/quote]
volevo integrare ma non capisco come disfarmi di quel $y^3$ che sta alla parte destra al numeratore!
posso moltiplicare tutte due le parti per $1/y^3$ ma poi come integro la parte sinistra?
Il tuo metodo non l'ho capito! Dove hai tirato fuori l'elevamento a -1/2 ?
Nella soluzione di Camillo credo ci sia un coefficiente $1/2$ davanti all'arctangente.
"camillo":
E' a variabili separabili :
$dy/dx = y^3/(x^2+4) $ da cui :
$dy/y^3 = dx/(x^2+4)$, integrando ambo i membri ottieni:
$((-1/2y^2) = (1/2)arctg(x/2) +C $
Ma deve essere $y(0) = -2 $ e quindi : $C = -1/8$ e in conclusione :
$ y = -sqrt(1/((1/2)arctg(x/2)+(1/4))) $
devo separare le variabili quindi e integrare a destra rispetto a dy ed a sinistra rispetto a dx
e quando l'equazione non permette di separare le variabili come procedo? questa è piu una curiosità in vista di future equazioni piu complicate! o è sempre possibile separarle?
Thanks!
Devi integrare a sinistra rispetto ad y , e a destra rispetto ad x .
Di casi ce ne sono parecchi, tra i più semplici :
A variabili separabili ( appunto questo esercizio )
Lineari del primo ordine
lineari del secondo ordine a coefficienti costanti ( omogenee e non omogenee)
ai differenziali esatti
ognuna coi suoi metodi di soluzione.
Di casi ce ne sono parecchi, tra i più semplici :
A variabili separabili ( appunto questo esercizio )
Lineari del primo ordine
lineari del secondo ordine a coefficienti costanti ( omogenee e non omogenee)
ai differenziali esatti
ognuna coi suoi metodi di soluzione.
"camillo":
Devi integrare a sinistra rispetto ad y , e a destra rispetto ad x .
Di casi ce ne sono parecchi, tra i più semplici :
A variabili separabili ( appunto questo esercizio )
Lineari del primo ordine
lineari del secondo ordine a coefficienti costanti ( omogenee e non omogenee)
ai differenziali esatti
ognuna coi suoi metodi di soluzione.
ora riesco a risolvere:
-a variabili separabili
-lineari di secondo ordine a coefficienti costanti omegenee
Mentre:
quelle di primo ordine sono un caso particolare di quelle di secondo ordine vero?
quelle non omogene di secondo ordine sono quelle usate per descrivere forze esterne al sistema come nella risonanza
mentre quelle ai differenziali esatti non le ho mai sentite!
Certo che questo settore della matematica è molto usato in fisica!
Una domandina pure io per Camillo: come hai fatto a determinare C? Magari è banale ma ad occhio non lo vedo...
Dopo aver integrato , ho sostituito al postyo di y il valore -2 e al posto di x il valore 0 , da cui :
$-1/8 = 0+ C $
$-1/8 = 0+ C $
Che stupido non avevoo pensato a mettere x = 0 
OK.
OK.
Succede anche ai migliori .. 
"camillo":
Succede anche ai migliori ..
Figurati agli scarsi
"stefanofet":
volevo integrare ma non capisco come disfarmi di quel $y^3$ che sta alla parte destra al numeratore!
posso moltiplicare tutte due le parti per $1/y^3$ ma poi come integro la parte sinistra?
Il tuo metodo non l'ho capito! Dove hai tirato fuori l'elevamento a -1/2 ?
In effetti non mi sono spiegato bene, scriviamo $y(x)=z(x)^q$ dove $q$ è una costante che sceglòieremo come ci fa più comodo, allora abbiamo $y'(x)=q z'(x) z(x)^(q-1)$ del resto $y'(x)=(z(x)^(3q))/(x^2+4)$ quindi $q z'(x) z(x)^(q-1)=(z(x)^(3q))/(x^2+4)$ noi vogliamo eliminare $z(x)$ e quindi $q-1=3q$ ovvero $q=-1/2$ e infine
$-1/2 z'(x)=1/(x^2+4)$ e non resta che trovare $z(x)$ integrando e risalire a $y(x)$. Questa comunque è una soluzione particolare e grossolana.
Ciao Ciao
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