Integrare $1/|x|^(n-2)$ vicino all'origine in $RR^n$

[thedarkhero]

Consideriamo la funzione $f:RR^n->RR,x \mapsto 1/|x|^(n-2)$.
Chiaramente questa funzione non è definita in $x=0$ ma c'è un criterio per stabilire se è integrabile in un intorno di $0$, ovvero se sta in $L^1(B(0,1))$ ad esempio?
Esiste qualche generalizzazione in dimensione arbitraria del fatto che in dimensione $1$ la funzione $1/x^alpha$ è integrabile in un intorno di $0$ se e solo se $alpha<1$?

[Sk_Anonymous]

Coordinate polari.

[thedarkhero]

Ciao Delirium!

Con coordinate polari in $RR^n$ si intendono le coordinate sferiche?
In tal caso dovrei ottenere
$\int_{B(0,1)} 1/|x|^(n-2) dx = \int_0^1 \int_{ \partial B(0,r)} 1/|x|^(n-2) ds(x) dr = \int_0^1 \int_{ \partial B(0,r)} 1/r^(n-2) ds(x) dr =$
$= \int_0^1 1/r^(n-2) |\partialB(0,r)| dr = \int_0^1 1/r^(n-2) c_n r^(n-1) dr = c_n \int_0^1 r dr = c_n [r^2/2]_0^1 = c_n/2 < +oo$
e quindi $1/|x|^(n-2) \in L^1(B(0,R))$.
Giusto?

[Sk_Anonymous]

L'idea è quella, ma ti sei dimenticato i seni del jacobiano (che comunque non cambiano la soluzione). Vedi qui.

[thedarkhero]

Ah...ma quindi anche qui avrei dovuto aggiungere i seni?

[Sk_Anonymous]

Ah no scusa, non avevo visto che avevi impacchettato tutto nel \( d s(x) \). Quello che tu hai riassunto con \[ \int_{\partial B} ds(x) \]è di fatto un integrale di una produttoria di seni fatto su \(n-1 \) angoli, come spiega bene Wikipedia. Allora mi sembra corretto quello che hai scritto.

[thedarkhero]

Ottimo, grazie!

In particolare, riguardo il caso generale si può dire che
$\int_{B(0,1)} 1/|x|^alpha dx = \int_0^1 \int_{\partialB(0,r)} 1/r^alpha ds(x) dr = \int_0^1 1/r^alpha |\partialB(0,r)| dr = \int_0^1 1/r^alpha c_n r^(n-1) dr =$
$= c_n \int_0^1 1/r^{alpha-n+1} dr < +oo$ se e solo se $alpha-n+1<1$ se e solo se $alpha Può andare?

[Sk_Anonymous]

Si'.

[thedarkhero]

Grazie ancora!

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]