INTEGRALOZZO

[parallel1]

Non riesco a risolvere il seguente integrale per parti:

$I=int arcsin(sqrt(x/(x+1)))dx $

Il risultato dovrebbe essere: $x*arcsin(sqrt(x/(x+1))) - sqrt(x) + arctan(sqrt(x)) $

Grazie

[cavallipurosangue]

Io ho posto $\sqrt{x/{x+1}}=t=>x={\sin^2t}/{1-sin^2t}={\sin^2t}/{\cos^2t}=\tan^2t=>dx=2\sint/{\cos^3t}dt$
Quindi rimane da svolgere questo integrale:
$\int2t\sint/{\cos^3t}dt$ Usiamo il metodo di integrazione per parti, derivando $t$ ed integrando $2\sint/{\cos^3t}dt$
Quindi abbiamo che:
$\int2t\sint/{\cos^3t}dt=t/{cos^2t}-\int1/{cos^2t}dt=t/{cos^2t}-tant+C={t+\sint\cost}/{cos^2t}+C={t+\sint\cost}/{1-\sin^2t}+C$ Quindi sostituendo di nuovo:
${t+\sint\cost}/{1-\sin^2t}+C={\text{arcsin}(\sqrt{x/{x+1}})-(\sqrt{x/{x+1}})(\sqrt{1-x/{x+1}})}/{1-x/{x+1}}+C=(x+1)\text{arcsin}(\sqrt{x/{x+1}})-\sqrt{x}+C$

[parallel1]

Il risultato proposto dal libro è quello e sono sicuro che non si sbaglia. Sono riuscito ad arrivare ad una soluzione simile a quella, ma non uguale.

AIUTATEMIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII !

grazie

[MaMo2]

"parallel":Il risultato proposto dal libro è quello e sono sicuro che non si sbaglia. Sono riuscito ad arrivare ad una soluzione simile a quella, ma non uguale.

AIUTATEMIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII !

grazie

Guarda che il risultato di Cavallipurosangue corrisponde a quella del tuo libro.

[Sk_Anonymous]

Prendendo dx come fattore differenziale ed integrando per parti si ha (L=integrale):
$L=x*arcsinsqrt(x/(x+1))-intx*1/(sqrt(1-x/(x+1)))*1/(2sqrt(x/(x+1)))*1/(x+1)^2dx$
Ovvero semplificando:
$L=x*arcsinsqrt(x/(x+1))-1/2*intx*sqrt(x+1)*sqrt(x+1)/(sqrtx)*1/(x+1)^2dx$
Cioe':
$L=x*arcsinsqrt(x/(x+1))-int1/(2sqrtx)*x/(x+1)dx=x*arcsinsqrt(x/(x+1))-int1/(2sqrtx)*(1-1/(x+1))dx$
Da cui :
$L=x*arcsinsqrt(x/(x+1))-int1/(2sqrtx)dx+int(1/(1+(sqrtx)^2))d(sqrtx)$
Ed in definitiva:
$L=x*arcsinsqrt(x/(x+1))-sqrtx+arctansqrtx+C$
Archimede

[parallel1]

GRAZIEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE !

Beh il risultato di Cavallipurosangue sarà equivalente al mio, caro Mamo, come sarà equivalente ad un altro che ho ottenuto io . . . ma ARCHIMEDE ha centrato l'integralozzo.

Cmq grazie a tutti.

SIETE MITICI. W MATEMATICAMENTE.IT

A presto !