[INTEGRALI]metodo per parti e per sostituzione: diverso risultato
$ intdx/(xlnx)=int(dx/(x))(1/lnx) $
Provo per parti
$ g'(x)=(dx/(x)) $ $ f(x)=(1/lnx) $
$ int(dx)/(xlnx)=lnx/lnx-int(lnx)/(1/x)=1-intxlnx=1-x^2/2lnx+int(x^2/2)(1/x)=1-x^2/2lnx+intx/(2)=1-x^2/2lnx+x^2/4 $
Per sostituzione
$ 1/x=dt $ $ t=lnx $ $ 1/t=1/lnx $
$ int(1/tdt)=ln(t)=>ln(ln(x)) $
Perché per parti non viene 
Provo per parti
$ g'(x)=(dx/(x)) $ $ f(x)=(1/lnx) $
$ int(dx)/(xlnx)=lnx/lnx-int(lnx)/(1/x)=1-intxlnx=1-x^2/2lnx+int(x^2/2)(1/x)=1-x^2/2lnx+intx/(2)=1-x^2/2lnx+x^2/4 $
Per sostituzione
$ 1/x=dt $ $ t=lnx $ $ 1/t=1/lnx $
$ int(1/tdt)=ln(t)=>ln(ln(x)) $
Perché per parti non viene
Risposte
Ci sono svariati errori in quella integrazione per parti, i moduli 
Anche una derivata è sbagliata.
La corretta integrazione per parti sarebbe questa, che conduce ad un integrale ancora più complesso, meglio la sostituzione:
\(\displaystyle \int_{}^{}{\frac{1}{x\log x}dx=}\frac{x}{x\log x}-\int_{}^{}{xd\left( \frac{1}{x\log x} \right)=}\frac{1}{\log x}+\int_{}^{}{\frac{\log x+1}{x\log ^{2}x}dx} \)
Anche una derivata è sbagliata.
La corretta integrazione per parti sarebbe questa, che conduce ad un integrale ancora più complesso, meglio la sostituzione:
\(\displaystyle \int_{}^{}{\frac{1}{x\log x}dx=}\frac{x}{x\log x}-\int_{}^{}{xd\left( \frac{1}{x\log x} \right)=}\frac{1}{\log x}+\int_{}^{}{\frac{\log x+1}{x\log ^{2}x}dx} \)
L'integrazione per parti che haai operato è sbagliata; anche a occhio potevi vedere
$D(log(log(x)))= 1/(log(x))\cdot 1/x=1/(xlog(x))$.
Comunque l'integrazione per parti in quel modo non ti avrebbe lo stesso portato da nessuna parte. Ti faccio vedere.
Prendiamo la formula classica dell'integrazione per parti.
$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$.
Ora
$g'(x)=1/x$ da cui $g(x)=log(x)$
$f(x)=1/(log(x))$ da cui $f'(x)=-\frac{1}{x log^2(x)}$
(ricordo che $D(1/(h(x)))= -\frac{h'(x)}{h^2(x)}$ ammesso che $h$ sia derivabile).
Nel nostro caso abbiamo
$\int (1/x \cdot 1/(log(x)))= log(x)\cdot 1/(log(x))-\int log(x) \cdot \frac{-1/x}{log(x)^2}dx=$
$=1+\int 1/(x log(x))dx$
che quindi fa capire subito che andare per parti non porta da nessuna parte. Questi casi in cui si arriva a un assurdo sono proprio quelli in cui l'integrazione per parti non si fa oppure che si fa ma cambiando scelta tra $f$ e $g'$, come ha scritto Ianero (ho visto il suo post facendo l'anteprima).
Vedendo il post di Ianero, inoltre, non credo che servono tanto i moduli perché avendo nell'integrale indefinito un $log(x)$ dovrebbe essere implicito un $x>0$.
$D(log(log(x)))= 1/(log(x))\cdot 1/x=1/(xlog(x))$.
Comunque l'integrazione per parti in quel modo non ti avrebbe lo stesso portato da nessuna parte. Ti faccio vedere.
Prendiamo la formula classica dell'integrazione per parti.
$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$.
Ora
$g'(x)=1/x$ da cui $g(x)=log(x)$
$f(x)=1/(log(x))$ da cui $f'(x)=-\frac{1}{x log^2(x)}$
(ricordo che $D(1/(h(x)))= -\frac{h'(x)}{h^2(x)}$ ammesso che $h$ sia derivabile).
Nel nostro caso abbiamo
$\int (1/x \cdot 1/(log(x)))= log(x)\cdot 1/(log(x))-\int log(x) \cdot \frac{-1/x}{log(x)^2}dx=$
$=1+\int 1/(x log(x))dx$
che quindi fa capire subito che andare per parti non porta da nessuna parte. Questi casi in cui si arriva a un assurdo sono proprio quelli in cui l'integrazione per parti non si fa oppure che si fa ma cambiando scelta tra $f$ e $g'$, come ha scritto Ianero (ho visto il suo post facendo l'anteprima).
Vedendo il post di Ianero, inoltre, non credo che servono tanto i moduli perché avendo nell'integrale indefinito un $log(x)$ dovrebbe essere implicito un $x>0$.
Ciao, grazie ad entrambi.
@Ianero: tu hai preso come $ g'(x)=1 $ io invece $ g'(x)=1/x $ ecco perché ti viene quella roba.
@Zero87: N'aggia... la derivata del rapporto... che altro posso fare se non andare a sbattere la testa da qualche parte](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Comunque non c'è altro da dire, va risolto per sostituzione
@Ianero: tu hai preso come $ g'(x)=1 $ io invece $ g'(x)=1/x $ ecco perché ti viene quella roba.
@Zero87: N'aggia... la derivata del rapporto... che altro posso fare se non andare a sbattere la testa da qualche parte
Comunque non c'è altro da dire, va risolto per sostituzione
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