Integrali tripli:calcolo del volume
Vorrei sapere se ho impostato bene la soluzione di questo esercizio:
trovare il volume del dominio $V$ in $R^3$, dove $V$ $=$ ${$ $(x,y,z)$ $in$ $R^3$ $:$ $z$ $<=$ $1+ x^2+ y^2$ $,$ $x^2+y^2+z^2<=5$ $,$ $z>=-1-(x^2+y^2)$ $}$ $.$
Ho scelto la riduzione per fili e ho proceduto in questo modo:
ho scritto l'integrale doppio su $D$ dell'integrale semplice da $-x^2-y^2-1$ a $x^2+y^2+1$ di 1, con $D$ $=$ ${$ $(x,y)$ $in$ $R^2$ $:$ $x^2+y^2<=5$ $}$.
Per calcolare l'integrale doppio ho usato le coordinate polari, imponendo $0<=r<=sqrt(5)$ e $0<=\vartheta<=2\pi$.
Il risultato non mi viene come dovrebbe, ma non capisco se è perchè sbaglio qualcosa nel risolvere gli integrali o se è proprio un errore di impostazione. Nella soluzione del libro viene invece risolto con la riduzione per z-strati.
Grazie!
trovare il volume del dominio $V$ in $R^3$, dove $V$ $=$ ${$ $(x,y,z)$ $in$ $R^3$ $:$ $z$ $<=$ $1+ x^2+ y^2$ $,$ $x^2+y^2+z^2<=5$ $,$ $z>=-1-(x^2+y^2)$ $}$ $.$
Ho scelto la riduzione per fili e ho proceduto in questo modo:
ho scritto l'integrale doppio su $D$ dell'integrale semplice da $-x^2-y^2-1$ a $x^2+y^2+1$ di 1, con $D$ $=$ ${$ $(x,y)$ $in$ $R^2$ $:$ $x^2+y^2<=5$ $}$.
Per calcolare l'integrale doppio ho usato le coordinate polari, imponendo $0<=r<=sqrt(5)$ e $0<=\vartheta<=2\pi$.
Il risultato non mi viene come dovrebbe, ma non capisco se è perchè sbaglio qualcosa nel risolvere gli integrali o se è proprio un errore di impostazione. Nella soluzione del libro viene invece risolto con la riduzione per z-strati.
Grazie!
Risposte
se non ho fatto male i conti... per $\0 < r < 1$, $\z$ è tale per cui varia tra $\1 + r^2$ e $\(5-r^2)^(1/2)$
Perchè $0
Comunque mi sa che sarebbe stato più semplice risolverlo per strati...
Comunque mi sa che sarebbe stato più semplice risolverlo per strati...
Ho sbagliato nella risposta di prima.
facendo il cambio di coordinate cilindriche hai che le nuove condizioni sono: $\z \leq 1 + \r^2$; $\ r^2 + z^2 \leq 5$ e $\z \geq -1 -r^2$. Ovviamente $\theta \in [0; 2\pi]$. A questo punto prova a graficarle
.
La parte che interessa è l'intersezione tra i grafici (quella più grande, prima ti ho dato gli estremi per integrare quella piccola).
Il grafico ha nelle ascisse la $\z$ e nelle ordinate la $\r$
A questo punto spezzerei l'integrale in tre parti: per il primo integrale per $\z$ che varia tra $\ -2$ e $\-1$ la r varia tra $\sqrt(-1 - z)$ e $\(5 - z^2)^(1/2)$. Il secondo integrale per per $\z$ che varia tra$\ \-1$ e $\1$ la r varia tra $\0$ e $\(5 - z^2)^(1/2)$, terzo per $\z$ che varia tra $\1$ e $\2$ la $\r$ varia tra $\sqrt(z-1)$ e $\(5 - z^2)^(1/2)$.
Così mi viene $\41/3 \pi$ che è $\13.6$, quasi $\14$...
PS. Ho modificato un po' errore nel post. A questo punto aspetto anche io altre delucidazioni
facendo il cambio di coordinate cilindriche hai che le nuove condizioni sono: $\z \leq 1 + \r^2$; $\ r^2 + z^2 \leq 5$ e $\z \geq -1 -r^2$. Ovviamente $\theta \in [0; 2\pi]$. A questo punto prova a graficarle
. La parte che interessa è l'intersezione tra i grafici (quella più grande, prima ti ho dato gli estremi per integrare quella piccola).
Il grafico ha nelle ascisse la $\z$ e nelle ordinate la $\r$
A questo punto spezzerei l'integrale in tre parti: per il primo integrale per $\z$ che varia tra $\ -2$ e $\-1$ la r varia tra $\sqrt(-1 - z)$ e $\(5 - z^2)^(1/2)$. Il secondo integrale per per $\z$ che varia tra$\ \-1$ e $\1$ la r varia tra $\0$ e $\(5 - z^2)^(1/2)$, terzo per $\z$ che varia tra $\1$ e $\2$ la $\r$ varia tra $\sqrt(z-1)$ e $\(5 - z^2)^(1/2)$.
Così mi viene $\41/3 \pi$ che è $\13.6$, quasi $\14$...
PS. Ho modificato un po' errore nel post. A questo punto aspetto anche io altre delucidazioni
Non conosco il metodo delle coordinate cilindriche, quindi è lo stesso...sto provando di risolverlo per z-strati...il risultato dovrebbe essere $14\pi$. Grazie comunque!
Anche a me viene $41/3$ $\pi$! 
L'ho risolto per z-strati. Probabilmente allora c'è un errore nel risultato del libro, dal momento che viene a entrambi così e che abbiamo utilizzato due metodi diversi.
L'ho risolto per z-strati. Probabilmente allora c'è un errore nel risultato del libro, dal momento che viene a entrambi così e che abbiamo utilizzato due metodi diversi.
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