Integrali tripli: riduzione per fili o per strati?
Non riesco a capire quando devo applicare la riduzione per fili o quella per strati per trovare il volume di un solido. Ho provato ad applicare entrambi i metodi allo stesso esercizio, ma mi sembra vengano fuori due risultati diversi. Non si possono applicare indifferentemente i due metodi per risolvere il medesimo esercizio? Se no, come faccio a capire quando applicare quello per fili e quando quello per strati?
Grazie!
Grazie!
Risposte
posta l'esercizio con i tuoi tentativi e vediamo.
Dunque , un esempio di esercizio che non mi viene è il seguente:
trovare il volume del dominio $V$ in $R^3$ , dove $V$ = ${$ $(x,y,z)$ $in$ $R^3$ $:$ $z$ $<=$ $x^2$ $+$ $y^2$ $,$ $z$ $>=$ $-2$ $+$ $3*$ $sqrt(($x^2$ +$y^2$)$ $,$ $-1$ $<=$ $z$ $<=$ $1$ $}$.
Io ho provato di risolverlo per z-strati in questo modo:
ho calcolato l'integrale da -1 a 0 dell'integrale doppio su $V'z$ e l'ho sommato all'integrale da 0 a 1 dell'integrale doppio su $V''z$, con $V'z$ $=$ ${$ $($ $x,y$ $)$ $in$ $R^2$ $:$ $x^2+y^2$ $<=$ $((z+2)^2)/(9)$ $}$ e $V''z$ $=$ ${$ $(x,y)$ $in$ $R^2$ $:$ $z$ $<=$ $x^2+y^2$ $<=$ $((z+2)^2)/(9)$ $}$.
Per calcolare gli integrali doppi (quindi le aree di $V'z$ e $V''z$), ho usato le coordinate polari nel seguente modo:
per trovare l'integrale doppio su $V'z$ ho usato $0$ $<=$ $r$ $<=$ $(z+2)/3$ e $0$ $<=$ $\vartheta$ $<=$ $2$ $\pi$; per trovare invece l'integrale doppio su $V''z$ ho usato $sqrt(z)$ $<=$ $r$ $<=$ $(z+2)/3$ e $0$ $<=$ $\vartheta$ $<=$ $2$ $\pi$.
Il risultato finale del volume di $V$ mi viene $37/108$ $\pi$. Invece, nelle soluzioni, dice che dovrebbe venire $(7\pi)/27$ $+$ $(\pi(38\pi-27))/54$.
Dove ho sbagliato?
trovare il volume del dominio $V$ in $R^3$ , dove $V$ = ${$ $(x,y,z)$ $in$ $R^3$ $:$ $z$ $<=$ $x^2$ $+$ $y^2$ $,$ $z$ $>=$ $-2$ $+$ $3*$ $sqrt(($x^2$ +$y^2$)$ $,$ $-1$ $<=$ $z$ $<=$ $1$ $}$.
Io ho provato di risolverlo per z-strati in questo modo:
ho calcolato l'integrale da -1 a 0 dell'integrale doppio su $V'z$ e l'ho sommato all'integrale da 0 a 1 dell'integrale doppio su $V''z$, con $V'z$ $=$ ${$ $($ $x,y$ $)$ $in$ $R^2$ $:$ $x^2+y^2$ $<=$ $((z+2)^2)/(9)$ $}$ e $V''z$ $=$ ${$ $(x,y)$ $in$ $R^2$ $:$ $z$ $<=$ $x^2+y^2$ $<=$ $((z+2)^2)/(9)$ $}$.
Per calcolare gli integrali doppi (quindi le aree di $V'z$ e $V''z$), ho usato le coordinate polari nel seguente modo:
per trovare l'integrale doppio su $V'z$ ho usato $0$ $<=$ $r$ $<=$ $(z+2)/3$ e $0$ $<=$ $\vartheta$ $<=$ $2$ $\pi$; per trovare invece l'integrale doppio su $V''z$ ho usato $sqrt(z)$ $<=$ $r$ $<=$ $(z+2)/3$ e $0$ $<=$ $\vartheta$ $<=$ $2$ $\pi$.
Il risultato finale del volume di $V$ mi viene $37/108$ $\pi$. Invece, nelle soluzioni, dice che dovrebbe venire $(7\pi)/27$ $+$ $(\pi(38\pi-27))/54$.
Dove ho sbagliato?
La tua impostazione è corretta.
Nel risultato del libro c'è un $\pi$ di troppo, probabilmente l'hai copiato male, è corretto così: $(7\pi)/(27)+(\pi(38-27))/(54)=(25\pi)/(54)$.
Evidentemente sbagli qualcosa a impostare o risolvere gli integrali. Sono altre 5 righe di formule, scrivile e ti diremo.
PS. corretto un "23" con "25".
Nel risultato del libro c'è un $\pi$ di troppo, probabilmente l'hai copiato male, è corretto così: $(7\pi)/(27)+(\pi(38-27))/(54)=(25\pi)/(54)$.
Evidentemente sbagli qualcosa a impostare o risolvere gli integrali. Sono altre 5 righe di formule, scrivile e ti diremo.
PS. corretto un "23" con "25".
Avevo copiato bene (evidentemente il prof si è sbagliato nello scrivere la soluzione). Ho ricontrollato e avevo fatto alcuni errori di calcolo, ma ora mi viene (anche se dovrebbe essere giusto $(25\pi)/54$, dato che $(7\pi)/27$ $+$ $(\pi(38-27))/54$ $=$ $(25\pi)/54$ ).
Grazie mille dell'aiuto!
Mi serviva molto capire se avevo impostato l'esercizio correttamente!
Grazie mille dell'aiuto!
Mi serviva molto capire se avevo impostato l'esercizio correttamente!
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