Integrali tripli
Ho fatto questi due esercizi:
1°
integrale su A di xz/(x^2+y^2) dxdydz con A={(x,y,z)€R^3: 1<=x^2+y^2+z^2<=4, x>=0, z>=0)}
2°
calcolare il volume di A={(x,y,z)€R^3: x^2+y^2+2<=z<=3sqrt(x^2+y^2)}
Il primo mi torna 14/3, il secondo pi/2
Potreste dirmi se i risultati sono giusti?
Grazie
1°
integrale su A di xz/(x^2+y^2) dxdydz con A={(x,y,z)€R^3: 1<=x^2+y^2+z^2<=4, x>=0, z>=0)}
2°
calcolare il volume di A={(x,y,z)€R^3: x^2+y^2+2<=z<=3sqrt(x^2+y^2)}
Il primo mi torna 14/3, il secondo pi/2
Potreste dirmi se i risultati sono giusti?
Grazie
Risposte
Sono interessato all'argomento, ma non
riesco a capire qual'e' l'espressione
da integrare e quali i limiti di ciascuna
variabile.
Potresti essere meno criptico e spiegare
meglio i termini dei problemi?
Grazie.
riesco a capire qual'e' l'espressione
da integrare e quali i limiti di ciascuna
variabile.
Potresti essere meno criptico e spiegare
meglio i termini dei problemi?
Grazie.
Ecco il link:
http://www.dii.unisi.it/~papini/vecchi_ ... rova05.pdf
Compito n°1, esercizi 1 e 2
(meno criptico di così si muore [:D][:D][:D])
http://www.dii.unisi.it/~papini/vecchi_ ... rova05.pdf
Compito n°1, esercizi 1 e 2
(meno criptico di così si muore [:D][:D][:D])
Ti ringrazio, ma sono al punto di prima.
Evidentemente e' un linguaggio da iniziati.
Mi piacerebbe vedere la tua soluzione
(con i principali passaggi, se non chiedo troppo).
Evidentemente e' un linguaggio da iniziati.
Mi piacerebbe vedere la tua soluzione
(con i principali passaggi, se non chiedo troppo).
Io li ho risolti così:
Per quanto riguarda il primo esercizio ho riscritto il dominio di integrazione A in coordinate sferiche (considerando però come angolo teta quello formato con l'asse y, non quello formato con l'asse z) ottenendo questo:
x=p*cos(teta)*cos(fi)
y=p*cos(teta)*sen(fi)
z=p*sen(teta)
inizialmente con p>=0, -pi/2<=teta<=pi/2, -pi<=fi<=pi
per quanto riguarda fi potevo scegliere anche 0<=fi<=2pi, ma ho scelto questo intervallo perché conviene con la limitazione successiva
dalla condizione 1<=x^2+y^2+z^2<=4 sostituendo ottengo 1<=p^2<=4 cioè 1<=p<=2 questa è la limitazione su p
dalla condizione z>=0 ottengo p*sen(teta)>=0 divido per p perché è positivo e ottengo sen(teta)>=0 cioè 0<=teta<=pi ma considerando anche la condizione imposta precedetemente ottengo che la limitazione su teta è 0<=teta<=pi/2
per quanto riguarda x>=0 ottengo p*cos(teta)cos(fi)>=0 p è sempre maggiore di zero, nell'intervallo teta considerato anche cos(teta) è sempre maggiore di zero, quindi devo solo studiare cos(fi)>=0, vale a dire -pi/2<=fi<=pi/2
considerando anche la condizione iniziale ottengo che la limitazione su fi è -pi/2<=fi<=pi/2
dxdydz=p^2cos(teta)dpd(fi)d(teta)
quindi sostituisco nell'integrale iniziale le espressioni di x, y e z in funzione di p teta e fi
devo fare un integrale in queste tre variabili sapendo che p va da 1 a 2, teta va da 0 a pi/2 e fi va da -pi/2 a pi/2
ti lascio i calcoli, la parte importante penso che sia stata questa
Per quanto riguarda il primo esercizio ho riscritto il dominio di integrazione A in coordinate sferiche (considerando però come angolo teta quello formato con l'asse y, non quello formato con l'asse z) ottenendo questo:
x=p*cos(teta)*cos(fi)
y=p*cos(teta)*sen(fi)
z=p*sen(teta)
inizialmente con p>=0, -pi/2<=teta<=pi/2, -pi<=fi<=pi
per quanto riguarda fi potevo scegliere anche 0<=fi<=2pi, ma ho scelto questo intervallo perché conviene con la limitazione successiva
dalla condizione 1<=x^2+y^2+z^2<=4 sostituendo ottengo 1<=p^2<=4 cioè 1<=p<=2 questa è la limitazione su p
dalla condizione z>=0 ottengo p*sen(teta)>=0 divido per p perché è positivo e ottengo sen(teta)>=0 cioè 0<=teta<=pi ma considerando anche la condizione imposta precedetemente ottengo che la limitazione su teta è 0<=teta<=pi/2
per quanto riguarda x>=0 ottengo p*cos(teta)cos(fi)>=0 p è sempre maggiore di zero, nell'intervallo teta considerato anche cos(teta) è sempre maggiore di zero, quindi devo solo studiare cos(fi)>=0, vale a dire -pi/2<=fi<=pi/2
considerando anche la condizione iniziale ottengo che la limitazione su fi è -pi/2<=fi<=pi/2
dxdydz=p^2cos(teta)dpd(fi)d(teta)
quindi sostituisco nell'integrale iniziale le espressioni di x, y e z in funzione di p teta e fi
devo fare un integrale in queste tre variabili sapendo che p va da 1 a 2, teta va da 0 a pi/2 e fi va da -pi/2 a pi/2
ti lascio i calcoli, la parte importante penso che sia stata questa
per quanto riguarda il secondo:
il volume è integrale su A di dxdydz
studiamo ora il dominio di integrazione
la condizione x^2+y^2+2<=z<=3sqrt(x^2+y^2) ne sottintende un'altra, cioè x^2+y^2+2<=3sqrt(x^2+y^2)
chiamando t=sqrt(x^2+y^2) ottengo la disequazione di secondo grado:
t^2+2<=3t che è verificata per 1<=t<=2 cioè 1<=sqrt(x^2+y^2)<=2
questa è la regione di piano compresa fra le circonferenze di centro nell'origine e raggio 1 e 2
per prima cosa faccio l'integrale fra x^2+y^2+2 e 3sqrt(x^2+y^2) dz
che banalmente fa 3sqrt(x^2+y^2)-(x^2+y^2+2)
ora mi resta da fare l'integrale doppio di 3sqrt(x^2+y^2)-(x^2+y^2+2)
e l'insieme di integrazione è 1<=sqrt(x^2+y^2)<=2
passo in coordinate polari chiamando:
x=p*cos(teta)
y=p*sen(teta)
dxdy=pdpd(teta)
inizialmente con p>=0, 0<=teta<=2pi
dalla condizione 1<=sqrt(x^2+y^2)<=2 ottengo 1<=p<=2
questa è la corretta limitazione su p, mentre la limitazione su teta rimane 0<=teta<=2pi
ora si tratta solo di sostiuire le coordinate polari nell'integrale e si ottiene
(3p-p^2-2)pdpd(teta)=3p^2-p^3-2p dpd(teta) con p che va da 1 a 2 e teta che va da 0 a 2pi
si integra prima rispetto a teta ottenendo:
2pi * int(3p^2-p^3-2p)dp con 1<=p<=2
la primitiva è p^3-p^4/4-p^2 che calcolato fra 1 e 2 fa 1/4
il risultato quindi è 2pi*1/4 cioè pi/2
Spero di esserti stato di aiuto (e un po' più chiaro [:D][:D][:D])
Ciao
il volume è integrale su A di dxdydz
studiamo ora il dominio di integrazione
la condizione x^2+y^2+2<=z<=3sqrt(x^2+y^2) ne sottintende un'altra, cioè x^2+y^2+2<=3sqrt(x^2+y^2)
chiamando t=sqrt(x^2+y^2) ottengo la disequazione di secondo grado:
t^2+2<=3t che è verificata per 1<=t<=2 cioè 1<=sqrt(x^2+y^2)<=2
questa è la regione di piano compresa fra le circonferenze di centro nell'origine e raggio 1 e 2
per prima cosa faccio l'integrale fra x^2+y^2+2 e 3sqrt(x^2+y^2) dz
che banalmente fa 3sqrt(x^2+y^2)-(x^2+y^2+2)
ora mi resta da fare l'integrale doppio di 3sqrt(x^2+y^2)-(x^2+y^2+2)
e l'insieme di integrazione è 1<=sqrt(x^2+y^2)<=2
passo in coordinate polari chiamando:
x=p*cos(teta)
y=p*sen(teta)
dxdy=pdpd(teta)
inizialmente con p>=0, 0<=teta<=2pi
dalla condizione 1<=sqrt(x^2+y^2)<=2 ottengo 1<=p<=2
questa è la corretta limitazione su p, mentre la limitazione su teta rimane 0<=teta<=2pi
ora si tratta solo di sostiuire le coordinate polari nell'integrale e si ottiene
(3p-p^2-2)pdpd(teta)=3p^2-p^3-2p dpd(teta) con p che va da 1 a 2 e teta che va da 0 a 2pi
si integra prima rispetto a teta ottenendo:
2pi * int(3p^2-p^3-2p)dp con 1<=p<=2
la primitiva è p^3-p^4/4-p^2 che calcolato fra 1 e 2 fa 1/4
il risultato quindi è 2pi*1/4 cioè pi/2
Spero di esserti stato di aiuto (e un po' più chiaro [:D][:D][:D])
Ciao
Ti ringrazio delle delucidazioni.
Mi ci vorra' un po' di tempo per analizzale,
poi ti faccio sapere.
Mi ci vorra' un po' di tempo per analizzale,
poi ti faccio sapere.
Dunque, ho esaminato il primo problema.
Col tuo integrale triplo a me il risultato viene
=(7/3)pi (non 14/3).
Del resto (al di la' del formalismo matematico), mi
sembra di capire che si tratta di trovare il volume
di un quarto di sfera cava (di raggio interno =1 e
raggio esterno =2), quindi:
(1/4)*(4pi(re^3-ri^3)/3) = (7/3)pi
O sbaglio?
A presto con il secondo problema.
Col tuo integrale triplo a me il risultato viene
=(7/3)pi (non 14/3).
Del resto (al di la' del formalismo matematico), mi
sembra di capire che si tratta di trovare il volume
di un quarto di sfera cava (di raggio interno =1 e
raggio esterno =2), quindi:
(1/4)*(4pi(re^3-ri^3)/3) = (7/3)pi
O sbaglio?
A presto con il secondo problema.
il primo integrale viene così:
al numeratore c'è xz che sostituito con p fi e teta viene
p^2cos(teta)sen(teta)cos(fi)
al denominatore p^2cos^2(teta)
già da qui si semplifica un p^2 e un cos(teta) ottenendo
sen(teta)cos(fi)/cos(teta)
ora si deve sostituire il dxdydz con p^2cos(teta) dpd(teta)d(fi)
si semplifica ancora un cos(teta) ottenendo p^2sen(teta)cos(fi)
integro p^2 cioè p^3/3 fra 1 e 2 e fa 8/3-1/3 cioè 7/3
integro sen(teta) e viene -cos(teta) fra 0 e pi/2 e questa fa semplicemente 1
integro cos(fi) e ottengo sen(fi) fra -pi/2 e pi/2 che fa 2
7/3 * 1 * 2 fa 14/3
al numeratore c'è xz che sostituito con p fi e teta viene
p^2cos(teta)sen(teta)cos(fi)
al denominatore p^2cos^2(teta)
già da qui si semplifica un p^2 e un cos(teta) ottenendo
sen(teta)cos(fi)/cos(teta)
ora si deve sostituire il dxdydz con p^2cos(teta) dpd(teta)d(fi)
si semplifica ancora un cos(teta) ottenendo p^2sen(teta)cos(fi)
integro p^2 cioè p^3/3 fra 1 e 2 e fa 8/3-1/3 cioè 7/3
integro sen(teta) e viene -cos(teta) fra 0 e pi/2 e questa fa semplicemente 1
integro cos(fi) e ottengo sen(fi) fra -pi/2 e pi/2 che fa 2
7/3 * 1 * 2 fa 14/3
Il volume di A è 7/3, siamo d'accordo, ma l'esercizio non chiedeva di trovare il volume di A, chiedeva di INTEGRARE la funzione xz/(x^2+y^2) nell'insieme A.
In questo caso A è solo l'insieme di integrazione.
Per trovare il volume di A si doveva fare integrale su A di dxdydz.
Quest'ultimo integrale torna giustamente 7/3, ma l'integrale richiesto nell'esercizio fa 14/3
In questo caso A è solo l'insieme di integrazione.
Per trovare il volume di A si doveva fare integrale su A di dxdydz.
Quest'ultimo integrale torna giustamente 7/3, ma l'integrale richiesto nell'esercizio fa 14/3
Grazie Tipper. In effetti mi ero accorto che
nel seguire il tuo ragionamento, mi ero dimenticato
della funzione (che mi semhra rappresenti un cono
obliquo e rovesciato, con vertice nell'origine).
Quindi ora riprovo a calcolare lo spazio comune ai
2 solidi (dovrebbe essere infatti questo il significato
"geometrico" del problema, no?)
nel seguire il tuo ragionamento, mi ero dimenticato
della funzione (che mi semhra rappresenti un cono
obliquo e rovesciato, con vertice nell'origine).
Quindi ora riprovo a calcolare lo spazio comune ai
2 solidi (dovrebbe essere infatti questo il significato
"geometrico" del problema, no?)
Scusa la mia ignoranza, ma quale sia il significato geometrico del problema francamente non me lo sono proprio chiesto (anche perché quale solido sia xz/x^2+y^2 non ne ho la più pallida idea [:D][:D][:D])
L'unica cosa certa è il risultato dell'integrale
L'unica cosa certa è il risultato dell'integrale
Ho rivisto entrambi i problemi verificando i passaggi
con l'uso del calcolatore (mediante calcolo simbolico)
e raggiungendo gli stessi risultati.
Devo complimentarmi con te per l'ottimo lavoro. ed
ancora ringraziarti per le esaurienti spiegazioni.
G.Schgör
con l'uso del calcolatore (mediante calcolo simbolico)
e raggiungendo gli stessi risultati.
Devo complimentarmi con te per l'ottimo lavoro. ed
ancora ringraziarti per le esaurienti spiegazioni.
G.Schgör
Prego [:)]
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