Integrali tripli
Salve a tutti, qualcuno mi riesce a dare una mano? Ho provato a fare anche questi due esercizi:
Nel primo ho trasformato $x,y,z$ usando le coordinate cilindriche $x=rcos(t), y=rsin(t), z=s$ ottendendo $s=r^2,r^2<4, r>=0, 0=0$ e quindi $0<=r<=2$, anche se la s non saprei come estremizzarla.
Nella risoluzione il prof ha usato la parametrizzazione $(x,y,z)=(u,v,varphi(u,v))$
e risolvendo $ int_0^2 int_(-pi)^(pi)(1+4(u^2+v^2)sqrt(1+4(u^2+v^2))) du dv $
E' possibile fare la stessa cosa senza parametrizzazione? Che poi non ho capito perchè viene fuori un integrale doppio invece che triplo e perchè la $t$ è compresa tra $[-pi,pi]$ invece che tra $[0,2pi]$
Mentre nel secondo esercizo ho svolto sempre con le coordinate cilindriche dove $x=rcos(t), y=rsin(t), z=s$ ottendendo
$-(1-|s|)<=r<=1-|s|, -1<=s<=1, 0
mentre lo svolgimento del prof è questo:
$ int_-1^(1) int_0^(1-|s|) int_(-pi)^(pi)(r(r^2+s^2)) dtdrds $
Quello che vi chiedo è perchè la $t$ ha altri estremi rispetto a quelli standard $[0,2pi]$ e perchè l'ordine $dtdrds$ è diverso dal mio $drdsdt$ ?
Grazie a tutti
Nel primo ho trasformato $x,y,z$ usando le coordinate cilindriche $x=rcos(t), y=rsin(t), z=s$ ottendendo $s=r^2,r^2<4, r>=0, 0
Nella risoluzione il prof ha usato la parametrizzazione $(x,y,z)=(u,v,varphi(u,v))$
e risolvendo $ int_0^2 int_(-pi)^(pi)(1+4(u^2+v^2)sqrt(1+4(u^2+v^2))) du dv $
E' possibile fare la stessa cosa senza parametrizzazione? Che poi non ho capito perchè viene fuori un integrale doppio invece che triplo e perchè la $t$ è compresa tra $[-pi,pi]$ invece che tra $[0,2pi]$
Mentre nel secondo esercizo ho svolto sempre con le coordinate cilindriche dove $x=rcos(t), y=rsin(t), z=s$ ottendendo
$-(1-|s|)<=r<=1-|s|, -1<=s<=1, 0
mentre lo svolgimento del prof è questo:
$ int_-1^(1) int_0^(1-|s|) int_(-pi)^(pi)(r(r^2+s^2)) dtdrds $
Quello che vi chiedo è perchè la $t$ ha altri estremi rispetto a quelli standard $[0,2pi]$ e perchè l'ordine $dtdrds$ è diverso dal mio $drdsdt$ ?
Grazie a tutti
Risposte
Per quanto riguarda la seconda domanda, va bene sia mettere $(-pi,pi)$ che mettere $(0,2pi)$, ma è più consigliata la seconda, inoltre l'ordine degli ds, dt, dr non ha alcuna importanza dato che sono solo dei simboli.
Per quanto riguarda la prima domanda, il dominio M è una superficie, quello è un integrale di superficie, è per questo che il prof l'ha parametrizzata
Per quanto riguarda la prima domanda, il dominio M è una superficie, quello è un integrale di superficie, è per questo che il prof l'ha parametrizzata
"Vulplasir":
Per quanto riguarda la seconda domanda, va bene sia mettere $(-pi,pi)$ che mettere $(0,2pi)$, ma è più consigliata la seconda, inoltre l'ordine degli ds, dt, dr non ha alcuna importanza dato che sono solo dei simboli.
Per quanto riguarda la prima domanda, il dominio M è una superficie, quello è un integrale di superficie, è per questo che il prof l'ha parametrizzata
Grazie vulplasir
Ma scusa eh se io integro in ordine diverso, non viene lo stesso risultato. Se integro prima $r$ poi $s$ e poi $t$ è diverso da fare il contrario. E nel primo esercizio come faccio a capire che è un integrale di superficie?
E' un integrale di superficie perché M è una superficie.
L'ordine di integrazione non influisce, a meno che una variabile non rimandi a un'altra, nel tuo caso t varia tra 0 e 2pi, quindi non è legata a nessuna delle altre 2 variabili, quindi puoi integrarla quando ti pare, r invece è legata a s da una certa relazione, quindi prima di integrare s devi integrare r, ma t la puoi integrare quando ti pare
L'ordine di integrazione non influisce, a meno che una variabile non rimandi a un'altra, nel tuo caso t varia tra 0 e 2pi, quindi non è legata a nessuna delle altre 2 variabili, quindi puoi integrarla quando ti pare, r invece è legata a s da una certa relazione, quindi prima di integrare s devi integrare r, ma t la puoi integrare quando ti pare
"Vulplasir":
E' un integrale di superficie perché M è una superficie.
L'ordine di integrazione non influisce, a meno che una variabile non rimandi a un'altra, nel tuo caso t varia tra 0 e 2pi, quindi non è legata a nessuna delle altre 2 variabili, quindi puoi integrarla quando ti pare, r invece è legata a s da una certa relazione, quindi prima di integrare s devi integrare r, ma t la puoi integrare quando ti pare
Ok capito tutto, ti ringrazio molto
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