Integrali tripli
$P = [x^2 + y^2 + z^2 <= 1, z>=0, x^2 + y^2 <= z^2}$
Si calcoli
1)il volume di $P$
2) $\int \int \int_P e^z dx dy dz$
Per il primo punto dovrei calcolare $\int \int \int dx dy dz$ come faccio ad essere sicuro se devo usare le coordinate cilindriche o sferiche? Nel senso è lecito usarle entrambe? usando le cilindriche e tendendo conto della matrice jacobiana potremmo dire:
$\int \int \int \rho\ d\rho\ d\theta\ dz$ però ora l'insieme $P$ è diverso, e non ho ben capito come è definito quelo da trovare. Comunque con le cordinate cilindriche avrei queste condizioni:
$\rho^2 + z^2 <= 1$ , $z >=0$, $0<=\rho<= z$ quest' ultima la posso scrivere in quanto so che $z >=0$? ed ora come posso concludere?
Grazie mille
Si calcoli
1)il volume di $P$
2) $\int \int \int_P e^z dx dy dz$
Per il primo punto dovrei calcolare $\int \int \int dx dy dz$ come faccio ad essere sicuro se devo usare le coordinate cilindriche o sferiche? Nel senso è lecito usarle entrambe? usando le cilindriche e tendendo conto della matrice jacobiana potremmo dire:
$\int \int \int \rho\ d\rho\ d\theta\ dz$ però ora l'insieme $P$ è diverso, e non ho ben capito come è definito quelo da trovare. Comunque con le cordinate cilindriche avrei queste condizioni:
$\rho^2 + z^2 <= 1$ , $z >=0$, $0<=\rho<= z$ quest' ultima la posso scrivere in quanto so che $z >=0$? ed ora come posso concludere?
Grazie mille
Risposte
$x^2 + y^2 + z^2 <= 1$
E' una sfera di raggio 1, più semplice che utilizzare le coordinate sferiche....
Anche nel secondo integrale l'insieme $P$ è lo stesso
E' una sfera di raggio 1, più semplice che utilizzare le coordinate sferiche....
Anche nel secondo integrale l'insieme $P$ è lo stesso
@Elwood: è un dominio interno ad una sfera, non una sfera! Per cui è meglio evitare le coordinate sferiche e usare quelle cilindriche. Abbiamo
$P'=\{(\rho,\theta,z):\ \rho^2+z^2\le 1,\ z\ge 0,\ \rho^2\le z^2\}$
Osserva che, in questo modo, non c'è più dipendenza da $\theta$ e questo implica che $\theta\in[0,2\pi]$. Per trovare le limitazioni di $\rho,\ z$ basta disegnare le curve e le loro limitazioni in un piano $\rho O z$, tenendo conto che dovrai considerare solo il primo quadrante (perché?).
Fallo e vediamo cosa ne viene fuori.
P.S.: dal momento che $\rho\ge 0$ per definizione e $z\ge 0$ per richiesta, allora l'ultima disequazione equivale a $\rho\le z$ (perché?).
$P'=\{(\rho,\theta,z):\ \rho^2+z^2\le 1,\ z\ge 0,\ \rho^2\le z^2\}$
Osserva che, in questo modo, non c'è più dipendenza da $\theta$ e questo implica che $\theta\in[0,2\pi]$. Per trovare le limitazioni di $\rho,\ z$ basta disegnare le curve e le loro limitazioni in un piano $\rho O z$, tenendo conto che dovrai considerare solo il primo quadrante (perché?).
Fallo e vediamo cosa ne viene fuori.
P.S.: dal momento che $\rho\ge 0$ per definizione e $z\ge 0$ per richiesta, allora l'ultima disequazione equivale a $\rho\le z$ (perché?).
mmm.... non sono d'accordo ciampax.
Il solido è un cono (con il vertice nell'origine) e il "coperchio" sovrastante è una calotta sferica.
Gli estremi dell'integrale del volume diventano
$\int_0^1\int_0^(2\pi)\int_0^(\pi/2)\ \rho^2\ \d\varphi\ d\theta\ d\rho $
più semplice di così...
Il solido è un cono (con il vertice nell'origine) e il "coperchio" sovrastante è una calotta sferica.
Gli estremi dell'integrale del volume diventano
$\int_0^1\int_0^(2\pi)\int_0^(\pi/2)\ \rho^2\ \d\varphi\ d\theta\ d\rho $
più semplice di così...
Ragazzi non vi seguo. Provando ad usare le coordinate sferiche avrei:
$\int \int \int \rho^2 \sin \phi d\rho d\theta d\phi $ su quale insieme di integrazione però? Non riesco bene a capirlo.
dovrebbe essere $0<= \rho <=1$ dall'ultima ho scoperto che $\sin^2 \phi <= \cos^2 \phi$ il quadrato lo posso togliere? a cosa arrivo? Poi so anche che $\rho\ \cos \phi >=0 -> \cos \phi >=0$
Posso togliere quei quadrati? so che il coseno è positivo ma non so altrettanto del seno...come faccio?
Siccome non ho informazione su $\theta$ devo dire che va $[0, 2 \pi]$?
Come fate a capire che tipo di coordinate è conveniente utilizzare?
$\int \int \int \rho^2 \sin \phi d\rho d\theta d\phi $ su quale insieme di integrazione però? Non riesco bene a capirlo.
dovrebbe essere $0<= \rho <=1$ dall'ultima ho scoperto che $\sin^2 \phi <= \cos^2 \phi$ il quadrato lo posso togliere? a cosa arrivo? Poi so anche che $\rho\ \cos \phi >=0 -> \cos \phi >=0$
Posso togliere quei quadrati? so che il coseno è positivo ma non so altrettanto del seno...come faccio?
Siccome non ho informazione su $\theta$ devo dire che va $[0, 2 \pi]$?
Come fate a capire che tipo di coordinate è conveniente utilizzare?
Smaug, cosa sono tutti quei discorsi ? Per calcolare il volume l'integrale te l'ho già impostato.
Invece per integrare $e^z$ ha fatto bene ciampax a suggerire le coordinate cilindriche. Gli estremi di integrazione non sono più fissi ma almeno quell' $e^z$ crea meno problemi.
Invece per integrare $e^z$ ha fatto bene ciampax a suggerire le coordinate cilindriche. Gli estremi di integrazione non sono più fissi ma almeno quell' $e^z$ crea meno problemi.
"Quinzio":
Smaug, cosa sono tutti quei discorsi ? Per calcolare il volume l'integrale te l'ho già impostato.
Perché $\phi \in [0, \pi/2]$ ? secondo me $\phi \in [0, \pi/4]$
Usando per il 2) le coordinate cilindriche ho
$\int \int \int e^z \rho\ d\rho\ d\theta\ d \z\$
conoscendo $P$ da lì posso dire che $ \rho^2 + z^2 <= 1$ ; $z>=0$ ; $0<=\rho<= z$
ora devo struttare l'integrazione per fili, per strati, cosa? @ciampax, @Quinzio
"Quinzio":
mmm.... non sono d'accordo ciampax.
Il solido è un cono (con il vertice nell'origine) e il "coperchio" sovrastante è una calotta sferica.
Gli estremi dell'integrale del volume diventano
$\int_0^1\int_0^(2\pi)\int_0^(\pi/2)\ \rho^2\ \d\varphi\ d\theta\ d\rho $
più semplice di così...
Non ho detto che fosse sbagliato scegliere le coordinate sferiche, non che fosse più complesso. Quello che intendevo è che usando quelle cilindriche è più facile, per chi non riconosce le equazioni presenti, capire di che diavolo di dominio si tratta, visto che quando lo rappresenti nel piano $\rho O z$ risulta proprio una sezione di quello che hai detto tu.
Comunque, se per $\varphi$ intendi l'angolo con il verso positivo dell'asse $z$, secondo me deve essere $\varphi\in[0,\pi/4]$, non credi?
"ciampax":
secondo me deve essere $\varphi\in[0,\pi/4]$, non credi?
Infatti così ho scritto ma non ne ero sicuro! Però come faccio a integrare? ho due espressioni che dipendono l'un l'altra da due variabili!
smaug, che stai a dì? Se usi l'integrale che ti ha scritto Quinzi (ovviamente comabiando gli estremi per $\varphi$) sono tutti integrali indipendenti!
Mi riferivo al secondo esercizio, in effetti non sono stato chiaro! Il primo ci sono riuscito a farlo.
Ecco, io nel secondo invece ragionerei con le coordinate cilindriche. anche perché se usi quelle sferiche hai come funzione integranda
$\rho^2 e^{\rho\cos\varphi}$
che ti impone una integrazione per parti. (Oddio, forse anche con quelle sferiche non è complicato).
anche perché se usi quelle sferiche hai come funzione integranda$\rho^2 e^{\rho\cos\varphi}$
che ti impone una integrazione per parti. (Oddio, forse anche con quelle sferiche non è complicato).
Si perfetto, ma il mio problema è questo:
Conosco P e tramite le coordinate cilindriche arrivo a poter dire ciò:
$ \rho^2 + z^2 <= 1$ ; $z>=0$ ; $0<=\rho<= z$ e ovviamente $\theta \in [0,2\pi)$
Come faccio a integrare in questo nuovo dominio? ci ho provato ma ho difficoltà, mi puoi aiutare per favore?
Grazie mille
Conosco P e tramite le coordinate cilindriche arrivo a poter dire ciò:
$ \rho^2 + z^2 <= 1$ ; $z>=0$ ; $0<=\rho<= z$ e ovviamente $\theta \in [0,2\pi)$
Come faccio a integrare in questo nuovo dominio? ci ho provato ma ho difficoltà, mi puoi aiutare per favore?
Grazie mille
In realtà sto pensando che in coordinate cilindriche vengono fuori una marea di conti in più, non fosse altro perché devi spezzare il dominio di integrazione in due parti.
Grazie per il consiglio però ciampax, ora che ci voglio provare, come faccio a integrare in $ \rho^2 + z^2 <= 1$ ; $z>=0$ ; $0<=\rho<= z$ come mi occupo degli estremi di integrazione?
"ciampax":
secondo me deve essere $\varphi\in[0,\pi/4]$, non credi?
Ah...certo.
In coordinate cilindriche hai che in asse z devi integrare dalla superficie del cono fino alla calotta, quindi da $z=\rho$ a $z=\sqrt(1-\rho^2)$, poi c'è tutta la rotazione attorno all'asse z, quindi $\theta =[0,2\pi]$, quindi il raggio $\rho=[0,\sqrt2/2]$
ovvero
$\int_0^(\sqrt2/2)\int_0^(2\pi)\int_\rho^(\sqrt(1-\rho^2))\rho\ e^z\ dz\ \d\theta\ \drho$
ovvero
$\int_0^(\sqrt2/2)\int_0^(2\pi)\int_\rho^(\sqrt(1-\rho^2))\rho\ e^z\ dz\ \d\theta\ \drho$
Avevo gia capito gli estremi dell'angolo, ora ho capito quelli di $z$ però non ho capito perchè la lunghezza massima di $\rho$ deve essere quella che mi hai detto.
Se fisso $\rho=\sqrt(x^2+y^2)=\sqrt2/2$
ottengo per la sfera:
$z=\sqrt(1-x^2-y^2)=\sqrt2/2$
e per il cono
$z=x^2+y^2=\sqrt2/2$
quindi le due superfici si intersecano in quel raggio.
Secondo me non hai chiaro come è fatto il solido, ma è importantissimo, se capisci com'è fatto eviti degli errori banali.
ottengo per la sfera:
$z=\sqrt(1-x^2-y^2)=\sqrt2/2$
e per il cono
$z=x^2+y^2=\sqrt2/2$
quindi le due superfici si intersecano in quel raggio.
Secondo me non hai chiaro come è fatto il solido, ma è importantissimo, se capisci com'è fatto eviti degli errori banali.
hai ragione infatti non ho chiara la situazione geometrica! Ma anche per via analitica non ho capito cosa hai fatto. Perchè c'è bisogno di fissare $\rho$? perchè ottiene di conseguenza quella sfera?
Smaug, non è che "devi" fissare $\rho$, è che come estremi dell'integrale vado dal centro fino a quando il solido finisce. E quando finisce il solido ? In questo caso (che è ancora semplice) quando il cono e la sfera si intersecano...
Cercati un tool per disegnare le superfici (es. cerca K3Dsurf su google) e quindi disegna le supefici. Altrimenti non ne salti fuori.
Cercati un tool per disegnare le superfici (es. cerca K3Dsurf su google) e quindi disegna le supefici. Altrimenti non ne salti fuori.
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