Integrali, tagli e quant'altro =)
salve a tutti =)
come si sa a poche ore dall'esame vengono in mente i dubbi più disparati ^_*
1) abbiamo la $f(z) = e^(sqrt(z))/(z(z+i))$
avendo una radice devo fissare il taglio per avere una sola determinazione, decido di metterlo sull'asse positivo.
la funzione presenta polo in $z=-i$ l'altro punto in cui si annulla il denominatore è $z=0$ ma questo, a causa del taglio, non è un punto di singolarità isolata.
a questo punto si richiede di calcolare il residuo in $z=-i$.
Bene, abbiamo un polo del primo ordine quindi sarà sufficiente calcolare : $R_(f(-i)) = ((z+i)e^(sqrt(z)))/(z(z+i))$.
da questo si ottiene $e^(sqrt(-i))/(-i)$
adesso dobbiamo calcolare il valore della radice. qui sorgono i miei dubbi.
quello che dovrei farè è $sqrt(-i)e^(i\vartheta/2)$
quindi otterrei $sqrt(-i)(cos(vartheta/2)+isen(vartheta/2))$
nel caso di $-i$ l'angolo $\vartheta = 3/2\pi$ e quindi otterrei $sqrt(-i)(-sqrt(2)/2 + isqrt(2)/2).$
da qui non so andare avanti.. credo di dover ottenere come risultato $sqrt(-i) = (i-1)/(sqrt(2))$.
ditemi anche se il ragionamento che mi ha portato qui è corretto.. non si sa mai =)
2) altro tipo di taglio, avendo un logaritmo, fissando il taglio sul semiasse positivo, ha senso dire $log(1) = 0 $ ? il punto si trova sul taglio quindi mi era venuto il dubbio di dover mettere il valore della "discontinuità".
per ora non ho altro da chiedere ^^
come si sa a poche ore dall'esame vengono in mente i dubbi più disparati ^_*
1) abbiamo la $f(z) = e^(sqrt(z))/(z(z+i))$
avendo una radice devo fissare il taglio per avere una sola determinazione, decido di metterlo sull'asse positivo.
la funzione presenta polo in $z=-i$ l'altro punto in cui si annulla il denominatore è $z=0$ ma questo, a causa del taglio, non è un punto di singolarità isolata.
a questo punto si richiede di calcolare il residuo in $z=-i$.
Bene, abbiamo un polo del primo ordine quindi sarà sufficiente calcolare : $R_(f(-i)) = ((z+i)e^(sqrt(z)))/(z(z+i))$.
da questo si ottiene $e^(sqrt(-i))/(-i)$
adesso dobbiamo calcolare il valore della radice. qui sorgono i miei dubbi.
quello che dovrei farè è $sqrt(-i)e^(i\vartheta/2)$
quindi otterrei $sqrt(-i)(cos(vartheta/2)+isen(vartheta/2))$
nel caso di $-i$ l'angolo $\vartheta = 3/2\pi$ e quindi otterrei $sqrt(-i)(-sqrt(2)/2 + isqrt(2)/2).$
da qui non so andare avanti.. credo di dover ottenere come risultato $sqrt(-i) = (i-1)/(sqrt(2))$.
ditemi anche se il ragionamento che mi ha portato qui è corretto.. non si sa mai =)
2) altro tipo di taglio, avendo un logaritmo, fissando il taglio sul semiasse positivo, ha senso dire $log(1) = 0 $ ? il punto si trova sul taglio quindi mi era venuto il dubbio di dover mettere il valore della "discontinuità".
per ora non ho altro da chiedere ^^
Risposte
A proposito del primo esercizio, i residui da calcolare sono due:
$f(z)=e^(sqrt(z))/(z(z+i))$
$Res[f(z),-i]=lim_(z->-i)(z+i)f(z)=lim_(z->-i)(z+i)e^(sqrt(z))/(z(z+i))=lim_(z->-i)e^(sqrt(z))/z=e^(sqrt(-i))/(-i)$
$e^(sqrt(-i))/(-i)=ie^(-sqrt2/2+isqrt2/2)=ie^(-sqrt2/2)[cos(sqrt2/2)+isen(sqrt2/2)]=-e^(-sqrt2/2)sen(sqrt2/2)+ie^(-sqrt2/2)cos(sqrt2/2)$
$e^(sqrt(-i))/(-i)=ie^(sqrt2/2-isqrt2/2)=ie^(sqrt2/2)[cos(sqrt2/2)-isen(sqrt2/2)]=e^(sqrt2/2)sen(sqrt2/2)+ie^(sqrt2/2)cos(sqrt2/2)$
$f(z)=e^(sqrt(z))/(z(z+i))$
$Res[f(z),-i]=lim_(z->-i)(z+i)f(z)=lim_(z->-i)(z+i)e^(sqrt(z))/(z(z+i))=lim_(z->-i)e^(sqrt(z))/z=e^(sqrt(-i))/(-i)$
$e^(sqrt(-i))/(-i)=ie^(-sqrt2/2+isqrt2/2)=ie^(-sqrt2/2)[cos(sqrt2/2)+isen(sqrt2/2)]=-e^(-sqrt2/2)sen(sqrt2/2)+ie^(-sqrt2/2)cos(sqrt2/2)$
$e^(sqrt(-i))/(-i)=ie^(sqrt2/2-isqrt2/2)=ie^(sqrt2/2)[cos(sqrt2/2)-isen(sqrt2/2)]=e^(sqrt2/2)sen(sqrt2/2)+ie^(sqrt2/2)cos(sqrt2/2)$
scusami ma non ho capito.. sulle prime due righe ci sono ma dopo proprio no !
puoi spiegarmi ?
mi sa che son cose ovvie che non vedo @_@
puoi spiegarmi ?
mi sa che son cose ovvie che non vedo @_@
$e^z=e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x(cosy+iseny)=e^xcosy+ie^xseny$
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