Integrali sostituzioni parametriche
Salve chi mi spiega per bene o mi fa capire almeno come si usano!? ho visto su internet visto le dimostrazioni e altro
ma non capisco se sono sempre quelle o se cambiano dal tipo di esercizio cioè
$sinx=(2t)/(1+t^2)$ $ cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$ $ tanx=(2t)/(1-t^2) $
e il dx è sempre $dx=2/(1+t^2)dt$
e perchè quando sostiuisco nella funzione integrada si mette $t=tan(x/2)$ se nella mia funzione ho solo$ tanx$??
e un'altra cosa perchè se ho tipo
$int1/(cosx+senx)$ sostiuisco t=tan(x/2) perchè!?!?! scusate la mia ignoranza, ma su internet ti spiegano cose tipo le dimostrazioni del perchè escono quelle cose
ma non capisco se sono sempre quelle o se cambiano dal tipo di esercizio cioè
$sinx=(2t)/(1+t^2)$ $ cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$ $ tanx=(2t)/(1-t^2) $
e il dx è sempre $dx=2/(1+t^2)dt$
e perchè quando sostiuisco nella funzione integrada si mette $t=tan(x/2)$ se nella mia funzione ho solo$ tanx$??
e un'altra cosa perchè se ho tipo
$int1/(cosx+senx)$ sostiuisco t=tan(x/2) perchè!?!?! scusate la mia ignoranza, ma su internet ti spiegano cose tipo le dimostrazioni del perchè escono quelle cose
Risposte
perchè è proprio con le formule che hai scritto che ti riconduci alla risoluzione di un integrale razionale fratto
Ciao.
Le relazioni a cui ti riferisci costituiscono quelle che, in goniometria, sono chiamate "formule parametriche".
Tali formule esprimono, di norma, le funzioni $sinx$ e $cosx$ in funzione di un parametro comune (da cui il nome delle formule) dato da $tg(x/2)$.
Naturalmente sono ammesse possibili varianti, ad esempio è possibile esprimere $sin(2x)$ e $cos(2x)$ in funzione di $tg(x)$; insomma, è possibile esprimere le funzioni seno e coseno di uno stesso arco in funzione della tangente dell'arco dimezzato.
Si può dimostrare, purchè $x!=pi +2kpi, k in ZZ$, che valgono le seguenti relazioni:
$senx=2*(tg(x/2))/(1+tg^2(x/2))$
$cosx=(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))$
Dimostrazione (v. eventualmente testo nascosto):
Queste formule parametriche possono risultare comode quando è necessario esprimere le funzioni seno e coseno mediante funzioni razionali di uno stesso parametro.
Le applicazioni di tali formule sono disparate e vanno dalla risoluzione delle equazioni goniometriche lineari in seno e coseno, alla risoluzione di particolari integrali, come nel caso a cui ti riferivi.
Ovviamente il fatto che, nella risoluzione di integrali, l'utilizzo di queste formule parametriche sia conveniente, oppure no, dipende dalla costituzione della funzione integranda.
Qualora si applicasse, nella risoluzione di integrali, il metodo di sostituzione ponendo $t=tg(x/2)$, si avrebbe, come tu ricordavi:
$sinx=(2t)/(1+t^2)$
$cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$
Ed essendo $t=tg(x/2)$, si otterrebbe $x=2*arctg(t) Rightarrow dx=2/(1+t^2)*dt$ (differenziando entrambi i membri).
Non so se sono riuscito a "centrare" e risolvere il tuo dubbio.
Saluti.
Le relazioni a cui ti riferisci costituiscono quelle che, in goniometria, sono chiamate "formule parametriche".
Tali formule esprimono, di norma, le funzioni $sinx$ e $cosx$ in funzione di un parametro comune (da cui il nome delle formule) dato da $tg(x/2)$.
Naturalmente sono ammesse possibili varianti, ad esempio è possibile esprimere $sin(2x)$ e $cos(2x)$ in funzione di $tg(x)$; insomma, è possibile esprimere le funzioni seno e coseno di uno stesso arco in funzione della tangente dell'arco dimezzato.
Si può dimostrare, purchè $x!=pi +2kpi, k in ZZ$, che valgono le seguenti relazioni:
$senx=2*(tg(x/2))/(1+tg^2(x/2))$
$cosx=(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))$
Dimostrazione (v. eventualmente testo nascosto):
Queste formule parametriche possono risultare comode quando è necessario esprimere le funzioni seno e coseno mediante funzioni razionali di uno stesso parametro.
Le applicazioni di tali formule sono disparate e vanno dalla risoluzione delle equazioni goniometriche lineari in seno e coseno, alla risoluzione di particolari integrali, come nel caso a cui ti riferivi.
Ovviamente il fatto che, nella risoluzione di integrali, l'utilizzo di queste formule parametriche sia conveniente, oppure no, dipende dalla costituzione della funzione integranda.
Qualora si applicasse, nella risoluzione di integrali, il metodo di sostituzione ponendo $t=tg(x/2)$, si avrebbe, come tu ricordavi:
$sinx=(2t)/(1+t^2)$
$cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$
Ed essendo $t=tg(x/2)$, si otterrebbe $x=2*arctg(t) Rightarrow dx=2/(1+t^2)*dt$ (differenziando entrambi i membri).
Non so se sono riuscito a "centrare" e risolvere il tuo dubbio.
Saluti.
ok ho capito alcune cose nel mio caso preso in esempio perchè non si prende $tanx=t$ invece che $tan(x/2)=t$ la cosa che non capisco che ho il seno e coseno e devo scriverli in funzione della tangente ?
Ciao.
Ponendo $t=tgx$, mediante le formule parametriche esprimeresti $sin(2x)$ e $cos(2x)$, non $sinx$ e $cosx$.
Se l'integrale che devi risolvere fosse quello proposto
$ intdx/(cosx+sinx) $
allora - ammesso che si vogliano usare le formule parametriche - ti converrebbe porre $t=tg(x/2)$.
Saluti.
Ponendo $t=tgx$, mediante le formule parametriche esprimeresti $sin(2x)$ e $cos(2x)$, non $sinx$ e $cosx$.
Se l'integrale che devi risolvere fosse quello proposto
$ intdx/(cosx+sinx) $
allora - ammesso che si vogliano usare le formule parametriche - ti converrebbe porre $t=tg(x/2)$.
Saluti.
capito allora mi puoi scrivere una formula generale o se esiste?! cioè del tipo se ho $cos4x$ la sostituzione da fare e $t=tan2x$ se non ho capito male....
altre due domande quando faccio la sostiuzione poi cambiano anche le parametriche del coseno e seno o restano cosi come sono?!
altre due domande quando faccio la sostiuzione poi cambiano anche le parametriche del coseno e seno o restano cosi come sono?!
Ciao.
Le formule parametriche non cambiano; quando si riporta la loro forma più tipica
$ senx=(2*tg(x/2))/(1+tg^2(x/2)) $
$ cosx=(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2)) $
si sottointende che la variabile $x$ possa essere sostituita da qualsiasi espressione che assuma valori reali, purchè valga$ x!=pi +2kpi, k in ZZ $.
Quindi, se un'espressione da integrare dipendesse da $sin(f(x))$ e da $cos(f(x))$, con $f(x)!=pi +2kpi, k in ZZ$, allora si potrebbe porre (ammesso che sia conveniente farlo) $t=tg(f(x)/2)$, però il termine $dx$ da sostituire sarebbe meno semplice da ricavare (servirebbe che $f(x)$ sia derivabile e invertibile).
Saluti.
Le formule parametriche non cambiano; quando si riporta la loro forma più tipica
$ senx=(2*tg(x/2))/(1+tg^2(x/2)) $
$ cosx=(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2)) $
si sottointende che la variabile $x$ possa essere sostituita da qualsiasi espressione che assuma valori reali, purchè valga$ x!=pi +2kpi, k in ZZ $.
Quindi, se un'espressione da integrare dipendesse da $sin(f(x))$ e da $cos(f(x))$, con $f(x)!=pi +2kpi, k in ZZ$, allora si potrebbe porre (ammesso che sia conveniente farlo) $t=tg(f(x)/2)$, però il termine $dx$ da sostituire sarebbe meno semplice da ricavare (servirebbe che $f(x)$ sia derivabile e invertibile).
Saluti.
ok ok ma perchè ricavarsi $dx$ sarebbe più difficile?! lo so cosa significa derivabile e invertibile ma perchè? non e uguale anche quello ogni volta!?
Direi proprio di no.
Se in un integrale ponessi $t=tg(f(x)/2)$, dovresti ricavere $x$ per il calcolo diretto del termine $dx$, così:
$f(x)=2*arctg(t)$
A questo punto, per ricavare x, dovresti invertire la funzione $f$; supponiamo che essa sia invertibile e che la funzione inversa sia data da $g$, quindi avresti $x=g(2*arctg(t))$, cioè $dx=g'(2*arctg(t))*2/(1+t^2)*dt$, operazione possibile con $f$ derivabile.
Chiaro?
Saluti.
Se in un integrale ponessi $t=tg(f(x)/2)$, dovresti ricavere $x$ per il calcolo diretto del termine $dx$, così:
$f(x)=2*arctg(t)$
A questo punto, per ricavare x, dovresti invertire la funzione $f$; supponiamo che essa sia invertibile e che la funzione inversa sia data da $g$, quindi avresti $x=g(2*arctg(t))$, cioè $dx=g'(2*arctg(t))*2/(1+t^2)*dt$, operazione possibile con $f$ derivabile.
Chiaro?
Saluti.
si credo di aver capito mi manca solo la paratica e fare esercizi per capire a pieno...
Buono studio e buon lavoro.
Saluti.
Saluti.
un ultima cosa... ho capito quando usare col il seno cose e tag
ma in questo caso come mai si fa così?
$int 1/(x^2+y^2)^2dx$
$x=ytans$ e $dx=ysec^2s$
??
ma in questo caso come mai si fa così?
$int 1/(x^2+y^2)^2dx$
$x=ytans$ e $dx=ysec^2s$
??
Ciao.
L'integrale
$int 1/(x^2+y^2)^2dx$
proposto dipende sia da $x$ che da $y$, ma la variabile rispetto alla quale si dovrebbe calcolare la primitiva è $x$; che correlazione dovrebbe esserci, ammesso che esista, tra $x$ e $y$?
Oppure $y$, come potrebbe sembrare, è considerato come se fosse un termine costante?
Saluti.
L'integrale
$int 1/(x^2+y^2)^2dx$
proposto dipende sia da $x$ che da $y$, ma la variabile rispetto alla quale si dovrebbe calcolare la primitiva è $x$; che correlazione dovrebbe esserci, ammesso che esista, tra $x$ e $y$?
Oppure $y$, come potrebbe sembrare, è considerato come se fosse un termine costante?
Saluti.
non ho capito stasi dicendo che non si può fare?!
Non è detto... $y$ è, a sua volta, dipendente da $x$ (in caso affermativo in che modo?), oppure è indipendente da $x$?
Saluti.
Saluti.
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