Integrali sostituzione

[alessandro.roma.1654]

l integrale in questione è

$\int sin(x)/(sin(x)^2+1) dx$

procedendo per la prima sostituzione $t=sin(x)$ viene fuori

$\int t/((t^2+1)(sqrt(1-t^2))) dt $

procedendo ancora con un ulteriore sostituzione ponendo $u=sqrt(1-t^2)$ avremo

$\ int (sqrt(1-u^2)u)/(u(2-u^2)(sqrt(1-u^2))) du$ -> $\int(1/(2-u^2)) du $

riscrivendo con i fratti semplici trovando quindi $A=B=sqrt(2)/4$ riscrivo l integrale in due integrali piu semplici

$\int (sqrt(2)/4)/(sqrt(2)+u)+\int (sqrt(2)/4)/(sqrt(2)-u)$

integrando e sostituendo tutti in x mi esce $(sqrt(2)/4)[ln(sqrt(2)+cos(x))-ln(sqrt(2)-cos(x)]$
sul libro invece cè scritto

$(sqrt(2)/4)[ln(sqrt(2)-cos(x))-ln(sqrt(2)+cos(x)]$

non capisco il perche ho ricontrollato tutti i passaggi grazie della risposta

[@melia]

Perché non hai posto $t=cos x$? Avresti avuti meno di metà dei calcoli, e non correresti il rischio di perdere un segno.

[alessandro.roma.1654]

ho ricontrollato non mi pare di aver dimenticato segni comunque se tu hai notato qualche errore dimmelo grazie anticipatamente

[@melia]

Il problema nasce dal fatto che quando estrai una radice dovresti mettere il valore assoluto $|t|=sqrt(1-u^2)$ e quindi valutare se $t=sqrt(1-u^2)$ oppure $t=-sqrt(1-u^2)$, per questo ti consigliavo l'altra sostituzione, nella quale questo problema non si pone.

[alessandro.roma.1654]

giusto il modulo non c ho pensato! comunque sia come faccio a decidere quale segno scegliere ?? cioè se in futuro mi capiterà una situazione analoga come mi consigli di muovermi

[@melia]

Di solito il problema si pone in modo evidente quando sei di fronte ad integrali definiti. In quel caso il problema della scelta non si pone perché parti dall'intervallo in cui la funzione è definita e ne puoi vedere il segno. In generale, invece, ti darei lo stesso consiglio che do ai miei studenti: nel caso in cui ci siano le funzioni goniometriche seno e coseno, se una di queste compare con un termine di grado dispari sostituisci l'altra, se entrambe sono di grado dispari il problema non si pone.

[alessandro.roma.1654]

"@melia": se una di queste compare con un termine di grado dispari sostituisci l'altra, se entrambe sono di grado dispari il problema non si pone.

cioè se ho due funzioni una dispari e una pari mi consigli di sostituire quella di grado pari ??? no perche io su appunti che ho letto su internet dice di sostituire sempre quella di grado dispari in questi casi