Integrali: si definiscono tutti come limite di somme?

[Sk_Anonymous]

I due volumi del bramanti-pagani-salsa parlano dei seguenti tipi di integrali:
1) integrali di funzioni di una variabile;
2) integrali di funzioni di due, tre e n-variabili (doppi, tripli, ecc...);
3) integrali di linea di prima e seconda specie;
4) integrali di superficie.
Ora, il libro spiega solo il modo con cui si definiscono gli integrali di una variabile, doppi e tripli (attarverso limiti di sommatorie). Quanto al modo attraverso il quale si arriva agli altri tipi di integrali, è "muto".
Domanda:
gli integrali di linea di prima e seconda specie e gli integrali di superficie vengono anch'essi definiti come limite di somme?
Grazie per le risposte.

[dissonance]

Volendo si, puoi definire tutti gli integrali in modo diretto, ma è più comodo definire "a mano" gli integrali sullo spazio piatto (intervalli o domini piani) e poi definire integrali di linea e di superficie in termini di questi ultimi.

Mi pare che sul libro di analisi complessa di Conway si segua la prima strada per definire direttamente gli integrali di linea nel piano complesso.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":ma è più comodo definire "a mano" gli integrali sullo spazio piatto (intervalli o domini piani) e poi definire integrali di linea e di superficie in termini di questi ultimi.

Esatto, è proprio quello che fa il mio libro. Quando gli integrali di linea e di superficie vengono definiti in termini di integrali standard già definiti come limiti di somme (normali e doppi), si fa uso di qualche teorema?
Dove posso trovare la definizione di tali integrali attraverso limiti di somme?

[dissonance]

"lisdap":[quote="dissonance"]ma è più comodo definire "a mano" gli integrali sullo spazio piatto (intervalli o domini piani) e poi definire integrali di linea e di superficie in termini di questi ultimi.

Esatto, è proprio quello che fa il mio libro. Quando gli integrali di linea e di superficie vengono definiti in termini di integrali standard già definiti come limiti di somme (normali e doppi), si fa uso di qualche teorema?[/quote]Una definizione non è un teorema. Semmai occorre verificare che la definizione sia ben posta, ovvero (nello specifico) che non dipenda dalla scelta di una particolare parametrizzazione. Questo sicuramente tu lo hai studiato.

Dove posso trovare la definizione di tali integrali attraverso limiti di somme?

Per gli integrali di linea, la costruzione di Conway è una generalizzazione dell'integrale di Riemann-Stieltjes, che puoi studiare sul Principles of mathematical analysis di W. Rudin. Per gli integrali di superficie non saprei, non la trovo una questione molto interessante.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Per gli integrali di superficie non saprei, non la trovo una questione molto interessante.

Perchè non la reputi una questione molto interessante? Non è interessante sapere qual è la struttura della sommatoria il cui limite per $n->+oo$ è l'integrale di superficie? Forse è troppo complicato e non ne vale la pena?
Grazie

[dissonance]

Ma quello lo puoi ottenere facilmente anche con la definizione via parametrizzazione. Presa una parametrizzazione, l'integrale di superficie diviene un integrale sullo spazio piatto e si può approssimare con una somma di Riemann: niente di più di questo.