Integrali Semplici ma non vado avanti...
Buona sera, sto avendo difficoltà a svolgere alcuni interali che pur essendo semplici mi creano problemi perchè arrivati a un certo punto non riesco ad andare avanti...
Allora il primo Integrale è il seguente: \( \int_{}^{} (\sqrt{x}- \frac{1}{\sqrt{x} })^2 (x+1) dx \)
Ho svolto il quadrato del binomio e ho moltiplicato esso per ( x + 1 ) ottenendo questo:
\( \int_{}^{} x^2 + \frac{x}{x}-\frac{2x\sqrt{x} }{\sqrt{x} }+x+\frac{1}{x}-\frac{2\sqrt{x} }{\sqrt{x} }\, dx \)
Ecco spero di aver fatto i conti giusti, dopo questo punto non so che fare... Ci tengo a dire che per svolgere questo esercizio non posso usare i metodi per sostituzione o per parti, devo solo usare gli integrali immediati e integrali immediati di funzione composte...
Poi in questo altro integrale non so che metodo usare propio: \( \int_{}^{} \frac{e^{x+1}}{3+e^x}\, dx \) . Vi spiego i miei dubbi... In questo integrale non posso spezzarlo, quindi niente linearità dell'integrale... Non vedo nessuna formula degli integrali immediati che posso ricondurre a questo caso, quindi come dovrei procedere??
Stesso problema, cioè che non so propio da dove iniziare è per questo integrale: \( \int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{x^2-9} }\, dx \)
E questo è tutto... Per piacere se potete spiegarmi le cose passo passo altrimenti non capisco, ho cominciato a fare gli integrali da poco e quindi come potete vedere dai miei dubbi, con poco vado nel pallone... Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Allora il primo Integrale è il seguente: \( \int_{}^{} (\sqrt{x}- \frac{1}{\sqrt{x} })^2 (x+1) dx \)
Ho svolto il quadrato del binomio e ho moltiplicato esso per ( x + 1 ) ottenendo questo:
\( \int_{}^{} x^2 + \frac{x}{x}-\frac{2x\sqrt{x} }{\sqrt{x} }+x+\frac{1}{x}-\frac{2\sqrt{x} }{\sqrt{x} }\, dx \)
Ecco spero di aver fatto i conti giusti, dopo questo punto non so che fare... Ci tengo a dire che per svolgere questo esercizio non posso usare i metodi per sostituzione o per parti, devo solo usare gli integrali immediati e integrali immediati di funzione composte...
Poi in questo altro integrale non so che metodo usare propio: \( \int_{}^{} \frac{e^{x+1}}{3+e^x}\, dx \) . Vi spiego i miei dubbi... In questo integrale non posso spezzarlo, quindi niente linearità dell'integrale... Non vedo nessuna formula degli integrali immediati che posso ricondurre a questo caso, quindi come dovrei procedere??
Stesso problema, cioè che non so propio da dove iniziare è per questo integrale: \( \int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{x^2-9} }\, dx \)
E questo è tutto... Per piacere se potete spiegarmi le cose passo passo altrimenti non capisco, ho cominciato a fare gli integrali da poco e quindi come potete vedere dai miei dubbi, con poco vado nel pallone... Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Risposte
Se semplificassi, dopo aver fatto i conti, la cosa risulterebbe più semplice. Il quadrato di binomio diventa
$$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=x+\frac{1}{x}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=x+\frac{1}{x}-2$$
e quindi facendone il prodotto con $x+1$ si ha
$$x^2+1-2x+x+\frac{1}{x}-2=x^2-x-1+\frac{1}{x}$$
Da qui integrando risulta tutto semplice.
Per il secondo puoi scrivere l'integrando come
$$e\cdot\frac{e^x}{3+e^x}$$
(usando la proprietà delle potenze $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$) e da qui dovresti vedere che il numeratore è la derivata del denominatore.
Nel terzo devi ragionare moltiplicando e dividendo per costanti: visto che la derivata dell'argomento della radice è $2x$, puoi moltiplicare e dividere tutto per $2$ ottenendo
$$\int\frac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}\ dx$$
e così dovresti riuscire a capire come muoverti.
$$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=x+\frac{1}{x}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=x+\frac{1}{x}-2$$
e quindi facendone il prodotto con $x+1$ si ha
$$x^2+1-2x+x+\frac{1}{x}-2=x^2-x-1+\frac{1}{x}$$
Da qui integrando risulta tutto semplice.
Per il secondo puoi scrivere l'integrando come
$$e\cdot\frac{e^x}{3+e^x}$$
(usando la proprietà delle potenze $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$) e da qui dovresti vedere che il numeratore è la derivata del denominatore.
Nel terzo devi ragionare moltiplicando e dividendo per costanti: visto che la derivata dell'argomento della radice è $2x$, puoi moltiplicare e dividere tutto per $2$ ottenendo
$$\int\frac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}\ dx$$
e così dovresti riuscire a capire come muoverti.
"ciampax":
Se semplificassi, dopo aver fatto i conti, la cosa risulterebbe più semplice. Il quadrato di binomio diventa
$$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=x+\frac{1}{x}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=x+\frac{1}{x}-2$$
e quindi facendone il prodotto con $x+1$ si ha
$$x^2+1-2x+x+\frac{1}{x}-2=x^2-x-1+\frac{1}{x}$$
Da qui integrando risulta tutto semplice.
Per il secondo puoi scrivere l'integrando come
$$e\cdot\frac{e^x}{3+e^x}$$
(usando la proprietà delle potenze $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$) e da qui dovresti vedere che il numeratore è la derivata del denominatore.
Nel terzo devi ragionare moltiplicando e dividendo per costanti: visto che la derivata dell'argomento della radice è $2x$, puoi moltiplicare e dividere tutto per $2$ ottenendo
$$\int\frac{2x}{2\sqrt{x^2-9}}\ dx$$
e così dovresti riuscire a capire come muoverti.
Innanzitutto grazie per l'aiuto
! Allora per i primi due ho trovato la strada giusta grazie ai tuoi consigli...Nel terzo integrale ho provato a scrivere l'integrale in questo modo: \( \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x}{\sqrt{x^2 -9} } \, dx \) il problema è che come risultato mi viene \( \frac{1}{2}\ln |x^2-9|+c \) e invece dovrebbe venire secondo il libro \( \sqrt{x^2+9} +c \) dove sbaglio?
"Jack933":
Nel terzo integrale ho provato a scrivere l'integrale in questo modo: \( \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x}{\sqrt{x^2 -9} } \, dx \) il problema è che come risultato mi viene \( \frac{1}{2}\ln |x^2-9|+c \) e invece dovrebbe venire secondo il libro \( \sqrt{x^2+9} +c \) dove sbaglio?
Immagino che tu abbia sbagliato anche a riportare il risultato che evidentemente è
$sqrt(x^2-9)+C$
Infatti puoi notare che l'integrale è immediato. Basta osservare che:
$d/(dx)sqrt(x^2-9)=x/sqrt(x^2-9)$
tutto qui....non devi fare alcun conto
"tommik":
[quote="Jack933"]
Nel terzo integrale ho provato a scrivere l'integrale in questo modo: \( \frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x}{\sqrt{x^2 -9} } \, dx \) il problema è che come risultato mi viene \( \frac{1}{2}\ln |x^2-9|+c \) e invece dovrebbe venire secondo il libro \( \sqrt{x^2+9} +c \) dove sbaglio?
Immagino che tu abbia sbagliato anche a riportare il risultato che evidentemente è
$sqrt(x^2-9)+C$
Infatti puoi notare che l'integrale è immediato. Basta osservare che:
$d/(dx)sqrt(x^2-9)=x/sqrt(x^2-9)$
tutto qui....non devi fare alcun conto[/quote]
Si esatto ho sbagliato a scrivere il risultato è $sqrt(x^2-9)+C$
Però io credo che il problema è propio di concetto cioè ho capito che la derivata del denominatore è $x/sqrt(x^2-9)$ però non ho capito a quale formula di integrale immediato si fa riferimento per avere quel risultato...
Mi spiego meglio... Allora a me in questo caso mi viene in mente visto la struttura di utilizzare la formula di integrali immediati di funzioni composte dove il numeratore è la derivata del denominatore e cioè \( \int_{}^{} \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \int_{}^{} \ln |f(x)|\, +c \) però visto il risultato che viene non credo sia questa la formula dell'integrale immediato da usare... Quindi se non è questo integrale immediato quale bisogna usare??
ti sconsiglio vivamente di utilizzare formule per gli integrali immediati. Ti consiglio invece di fare molti esercizi in modo da allenare l'occhio.
Vedrai che dopo un po' di esercizi tutto ti sembrerà molto più semplice ed intuitivo.
Nel tuo caso
$intx/sqrt(x^2-9)dx=sqrt(x^2-9)+c$
perché si vede subito che derivando $sqrt(x^2-9)$ rispetto ad $x$ si ottiene l'integranda....
PS: in questo caso il numeratore NON è la derivata del denominatore...ma la derivata (o quasi) dell'argomento della radice del denominatore
Vedrai che dopo un po' di esercizi tutto ti sembrerà molto più semplice ed intuitivo.
Nel tuo caso
$intx/sqrt(x^2-9)dx=sqrt(x^2-9)+c$
perché si vede subito che derivando $sqrt(x^2-9)$ rispetto ad $x$ si ottiene l'integranda....
PS: in questo caso il numeratore NON è la derivata del denominatore...ma la derivata (o quasi) dell'argomento della radice del denominatore
"tommik":
ti sconsiglio vivamente di utilizzare formule per gli integrali immediati. Ti consiglio invece di fare molti esercizi in modo da allenare l'occhio.
Vedrai che dopo un po' di esercizi tutto ti sembrerà molto più semplice ed intuitivo.
Nel tuo caso
$intx/sqrt(x^2-9)dx=sqrt(x^2-9)+c$
perché si vede subito che derivando $sqrt(x^2-9)$ rispetto ad $x$ si ottiene l'integranda....
PS: in questo caso il numeratore NON è la derivata del denominatore...ma la derivata (o quasi) dell'argomento della radice del denominatore
Si ma se non uso le formule degli integrali immediati come arrivo al risultato finale?
se leggi ciò che ho scritto in spoiler dovresti riuscire....
"tommik":
ti sconsiglio vivamente di utilizzare formule per gli integrali immediati. Ti consiglio invece di fare molti esercizi in modo da allenare l'occhio.
Vedrai che dopo un po' di esercizi tutto ti sembrerà molto più semplice ed intuitivo.
Nel tuo caso
$intx/sqrt(x^2-9)dx=sqrt(x^2-9)+c$
perché si vede subito che derivando $sqrt(x^2-9)$ rispetto ad $x$ si ottiene l'integranda....
PS: in questo caso il numeratore NON è la derivata del denominatore...ma la derivata (o quasi) dell'argomento della radice del denominatore
Scusami non avevo visto lo spoiler
! Ho capito tutto tranne questo passaggio... $1/2int(x^2-9)^(-1/2)d(x^2-9)=$ perchè se porto sopra il numeratore mi verrebbe semmai \( \frac{1}{2}\int_{}^{} (x^2-9)^\frac{-1}{2}(2x)\, dx \) il 2x che fine ha fatto?
l'ho risolto per sostituzione ponendo $x^2-9=t$
il $2x$ di conseguenza è finito nel nuovo differenziale $2xdx=d(x^2-9)$
se non riesci a capire i passaggi così prova a fare la sostituzione che ti ho indicato e vedrai che tutto quadra
ovviamente è del tutto inutile e basta un colpo d'occhio per risolverlo, come ti ho detto fin dall'inizio
il $2x$ di conseguenza è finito nel nuovo differenziale $2xdx=d(x^2-9)$
se non riesci a capire i passaggi così prova a fare la sostituzione che ti ho indicato e vedrai che tutto quadra
ovviamente è del tutto inutile e basta un colpo d'occhio per risolverlo, come ti ho detto fin dall'inizio
Ok grazie della spiegazione @tommik ! Ho un dubbio su un altro integrale e sembra aprire un'altra domanda chiedo tutto qui...
L'integrale è il seguente: $ int_()^() \frac{x^2}{x^2 - 1} dx $
Ora in questo integrale di integrali immediati non mi pare li possa usare... Non posso usare i metodi nemmeno dove il grado del denominatore è maggio rispetto a quello del numeratore... Ho provato a fare la divisione tra polinomi ma non so se ho sbagliato o cosa ma non mi viene... Quale altra strada rimane? A parte per sostituzione o parti che non posso usare!
L'integrale è il seguente: $ int_()^() \frac{x^2}{x^2 - 1} dx $
Ora in questo integrale di integrali immediati non mi pare li possa usare... Non posso usare i metodi nemmeno dove il grado del denominatore è maggio rispetto a quello del numeratore... Ho provato a fare la divisione tra polinomi ma non so se ho sbagliato o cosa ma non mi viene... Quale altra strada rimane? A parte per sostituzione o parti che non posso usare!
$ x^2/(x^2-1)=((x^2-1)+1)/(x^2-1)=1+1/((x+1)(x-1))$
Il primo è fatto....il secondo per fratti semplici
(Anche con la divisione avresti ottenuto lo stesso risultato )
Il primo è fatto....il secondo per fratti semplici
(Anche con la divisione avresti ottenuto lo stesso risultato )
"tommik":
$ x^2/(x^2-1)=((x^2-1)+1)/(x^2-1)=1+1/((x+1)(x-1))$
Il primo è fatto....il secondo per fratti semplici
(Anche con la divisione avresti ottenuto lo stesso risultato )
Ma ho molti esercizi dove numeratore hanno lo stesso grado, non c'è una "regola generale" per venirne fuori? Sempre così devo comportarmi?
la regola generale è quella della divisione che si applica quando il numeratore è di grado MAGGIORE O UGUALE al denominatore...non solo quando è maggiore...ti sto anche indicando delle strade più eleganti di risoluzione...cerca di capirle perché sono molto importanti e sviluppano il ragionamento
"tommik":
la regola generale è quella della divisione che si applica quando il numeratore è di grado MAGGIORE O UGUALE al denominatore...non solo quando è maggiore...ti sto anche indicando delle strade più eleganti di risoluzione...cerca di capirle perché sono molto importanti e sviluppano il ragionamento
Allora l'integrale di partenza intero era $ int_()^() \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} dx $ che poi usando la divisione tra polimoni ho trasformato in $ int_()^() \frac{(1)(x^2-1)+2}{x^2 - 1} dx $ poi attraverso la linearità dell'integrale ho spezzato l'integrale in due fino ad avere $ int_()^() dx +2 int_()^() \frac{1}{x^2-1} dx $ ora il primo integrale è immediato, nel secondo uso il metodo dei fratti semplici! Alla fine ho questo risultato $ 2(-ln |x-1| + ln |x+1|) $ il 2 sta davanti tutto perchè nell'integrale prima di applicare i fratti semplici ci sta un 2 fuori tutto l'integrale... Ma poi con quel 2 che moltiplica tutto ci si fa qualcosa?? Perchè a me sul libro mette un altro risultato e cioè $ ln |x-1| - ln |x+1| + x +c $
hai sbagliato a scomporre i fratti semplici. Infatti risulta:
$2/(x^2-1)=1/(x-1)-1/(x+1)$
...e come puoi notare il due sparisce.....(il risultato del libro è corretto)
devi stare più attento!
$2/(x^2-1)=1/(x-1)-1/(x+1)$
...e come puoi notare il due sparisce.....(il risultato del libro è corretto)
devi stare più attento!
"tommik":
hai sbagliato a scomporre i fratti semplici. Infatti risulta:
$2/(x^2-1)=1/(x-1)-1/(x+1)$
...e come puoi notare il due sparisce.....(il risultato del libro è corretto)
devi stare più attento!
Ok grazie mille piano piano a forza di fare esercizi ci sono arrivato!
Adesso sto facendo gli integrali per sostituzione ma ho delle difficoltà d'impostazione, ad esempio nell'integrale seguente io ho svolto i conti cosi:
\( \int_{}^{} \sqrt{1+4x} \, dx \) ho posto \( \sqrt{1+4x} = t \) quindi elevando tutto alla seconda \( x= \frac{t^2-1}{4} \) di conseguenza facendo le derivate ottengo i differenziali che sono \( dx = -2t \) \( dt \) ! Qua sorge la prima domanda mia e cioè sulle derivate per fare i differenziali in questo caso per fare il differenziale di \( dt \) ho dovuto fare la derivata di \( \frac{t^2-1}{4} \) ma non c'è un modo più semplice per fare questa derivata? Perchè così ho due opzioni o vedo l'intera frazione come t^2/4 - 1/4 e poi derivando -1/4 mi viene 0 quindi devo fare la derivata di t^2/4 oppure la vedo tutta intera... Ci stanno altri metodi?
Poi l'altra mia domanda è che arrivo a un punto morto e cioè sostituendo arrivo a \( \int_{}^{} t \, -2t dt \) = \( \frac{t^2}{2} -2t \) mando via il due con il due e ok poi? Punto morto...
Con la tua sostituzione abbiamo che $sqrt(1+4x)=t rarr x=(t^2-1)/4$ dunque $dx=1/2t dt$.
Sostituendo adesso abbiamo che $int sqrt(1+4x)dx=int t*1/2t dt = 1/2 int t^2 dt = 1/6 t^3 +c = 1/6 sqrt((1+4x)^3)+c$.
Usando il metodo che diceva prima il buon tommik abbiamo che $d(1+4x)=4dx$ dunque:
$1/4 int sqrt(1+4x) d(1+4x) = 1/4 * (1+4x)^(1/2+1)/(1/2+1) +c= 1/4*2/3*(1+4x)^(3/2)+c=1/6*sqrt((1+4x)^3)+c$
Sostituendo adesso abbiamo che $int sqrt(1+4x)dx=int t*1/2t dt = 1/2 int t^2 dt = 1/6 t^3 +c = 1/6 sqrt((1+4x)^3)+c$.
Usando il metodo che diceva prima il buon tommik abbiamo che $d(1+4x)=4dx$ dunque:
$1/4 int sqrt(1+4x) d(1+4x) = 1/4 * (1+4x)^(1/2+1)/(1/2+1) +c= 1/4*2/3*(1+4x)^(3/2)+c=1/6*sqrt((1+4x)^3)+c$
"andar9896":
Con la tua sostituzione abbiamo che $sqrt(1+4x)=t rarr x=(t^2-1)/4$ dunque $dx=1/2t dt$.
Sostituendo adesso abbiamo che $int sqrt(1+4x)dx=int t*1/2t dt = 1/2 int t^2 dt = 1/6 t^3 +c = 1/6 sqrt((1+4x)^3)+c$.
Usando il metodo che diceva prima il buon tommik abbiamo che $d(1+4x)=4dx$ dunque:
$1/4 int sqrt(1+4x) d(1+4x) = 1/4 * (1+4x)^(1/2+1)/(1/2+1) +c= 1/4*2/3*(1+4x)^(3/2)+c=1/6*sqrt((1+4x)^3)+c$
Ho capito tutto tranne quando "ritrasformo" la t in x cioè se \( \sqrt{1+4x} = t \) allora non dovrebbe venire \( \frac{1}{6} (\sqrt{1+4x})^3 +c \) cioè essendo t tutta la radice visto che come risultato viene \( \frac{1}{6} t^3 +c \) allora devo elevare tutto alla terza e non solo l'argomento della radice... Naturalmente il mio ragionamento è sbagliato perchè l'integrale ha come risultato quello da te citato ma io chiedo il perchè del mio ragionamento sbagliato!
$(sqrt(1+4x))^3=sqrt((1+4x)^3)$ se è questo che intendi.
"andar9896":
$(sqrt(1+4x))^3=sqrt((1+4x)^3)$ se è questo che intendi.
Ah sisi giusto non ci pensavo grazie
mentre sempre con gli integrali per sostituzione stavo provando a fare questo: \( \int_{}^{} (\sqrt{e^x }+1) \, dx \) a questo punto ho provato a porre \( \sqrt{e^x} = t \) e viene \( e^x = t^2 \) quindi \( x = \ln t^2 \) ( non sono certo dell'ultimo passaggio del logaritmo ) a questo punto ho il logaritmo con argomento alla seconda quindi cosa devo fare per fare il differenziale? Nel senso devo fare la derivata ma non so come farla non ho mai trovato un logaritmo con argomento alla seconda
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