Integrali Semplici ma non vado avanti...
Buona sera, sto avendo difficoltà a svolgere alcuni interali che pur essendo semplici mi creano problemi perchè arrivati a un certo punto non riesco ad andare avanti...
Allora il primo Integrale è il seguente: \( \int_{}^{} (\sqrt{x}- \frac{1}{\sqrt{x} })^2 (x+1) dx \)
Ho svolto il quadrato del binomio e ho moltiplicato esso per ( x + 1 ) ottenendo questo:
\( \int_{}^{} x^2 + \frac{x}{x}-\frac{2x\sqrt{x} }{\sqrt{x} }+x+\frac{1}{x}-\frac{2\sqrt{x} }{\sqrt{x} }\, dx \)
Ecco spero di aver fatto i conti giusti, dopo questo punto non so che fare... Ci tengo a dire che per svolgere questo esercizio non posso usare i metodi per sostituzione o per parti, devo solo usare gli integrali immediati e integrali immediati di funzione composte...
Poi in questo altro integrale non so che metodo usare propio: \( \int_{}^{} \frac{e^{x+1}}{3+e^x}\, dx \) . Vi spiego i miei dubbi... In questo integrale non posso spezzarlo, quindi niente linearità dell'integrale... Non vedo nessuna formula degli integrali immediati che posso ricondurre a questo caso, quindi come dovrei procedere??
Stesso problema, cioè che non so propio da dove iniziare è per questo integrale: \( \int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{x^2-9} }\, dx \)
E questo è tutto... Per piacere se potete spiegarmi le cose passo passo altrimenti non capisco, ho cominciato a fare gli integrali da poco e quindi come potete vedere dai miei dubbi, con poco vado nel pallone... Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Allora il primo Integrale è il seguente: \( \int_{}^{} (\sqrt{x}- \frac{1}{\sqrt{x} })^2 (x+1) dx \)
Ho svolto il quadrato del binomio e ho moltiplicato esso per ( x + 1 ) ottenendo questo:
\( \int_{}^{} x^2 + \frac{x}{x}-\frac{2x\sqrt{x} }{\sqrt{x} }+x+\frac{1}{x}-\frac{2\sqrt{x} }{\sqrt{x} }\, dx \)
Ecco spero di aver fatto i conti giusti, dopo questo punto non so che fare... Ci tengo a dire che per svolgere questo esercizio non posso usare i metodi per sostituzione o per parti, devo solo usare gli integrali immediati e integrali immediati di funzione composte...
Poi in questo altro integrale non so che metodo usare propio: \( \int_{}^{} \frac{e^{x+1}}{3+e^x}\, dx \) . Vi spiego i miei dubbi... In questo integrale non posso spezzarlo, quindi niente linearità dell'integrale... Non vedo nessuna formula degli integrali immediati che posso ricondurre a questo caso, quindi come dovrei procedere??
Stesso problema, cioè che non so propio da dove iniziare è per questo integrale: \( \int_{}^{} \frac{x}{\sqrt{x^2-9} }\, dx \)
E questo è tutto... Per piacere se potete spiegarmi le cose passo passo altrimenti non capisco, ho cominciato a fare gli integrali da poco e quindi come potete vedere dai miei dubbi, con poco vado nel pallone... Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Risposte
"Jack933":
... non ho mai trovato un logaritmo con argomento alla seconda
Allora mi sa che non conosci le proprietà dei logaritmi
Infatti $log(t^2)=2logt$ dunque da ora dovrebbe essere facile, no?
Mi ero completamente dimenticato di quella propietà hai ragione 
!
Ora ho un dubbio su un altro esercizio con testo $ int_()^() \frac{1}{9x^2 +16} dx $ siccome ho al numeratore un numero e al denominatore il delta è < di 0 allora ci troviamo nel caso riconducibile alla formula \( \frac{1}{k}\arctan \frac{x+m}{k}+c \) ora per arrivare ad applicare quella formula innanzitutto devo usare la tecnica del completamento dei quadrati, però per usare il completamento dei quadrati prendo il coefficente della x e lo metto diviso 2 ma in questo caso non ho il coefficente della x, quindi come ne vengo fuori?
!Ora ho un dubbio su un altro esercizio con testo $ int_()^() \frac{1}{9x^2 +16} dx $ siccome ho al numeratore un numero e al denominatore il delta è < di 0 allora ci troviamo nel caso riconducibile alla formula \( \frac{1}{k}\arctan \frac{x+m}{k}+c \) ora per arrivare ad applicare quella formula innanzitutto devo usare la tecnica del completamento dei quadrati, però per usare il completamento dei quadrati prendo il coefficente della x e lo metto diviso 2 ma in questo caso non ho il coefficente della x, quindi come ne vengo fuori?
In questo caso non c'é bisogno, basta raccogliere il $16$ :
$1/16 int 1/(9/16x^2+1) dx = 1/16 int 1/((3/4x)^2+1) dx$
E da qui dovresti saper continuare
$1/16 int 1/(9/16x^2+1) dx = 1/16 int 1/((3/4x)^2+1) dx$
E da qui dovresti saper continuare
Ok grazie da quel punto non ho avuto problemi, non avevo pensato a quella situazione grazie 
!
Adesso ho 2 dubbi su altre apllicazioni degli integrali. Dunque la domanda n. 1 è quando ho esercizi che mi chiedono " Determinare l'area sottesa al grafico della f(x)=..... nell'intervallo [a;b]" prima di tutto devo vedere se la funzione è continua in [a;b] e come faccio a vedere se è continua?
Domanda n.2 qua l'esercizio è diverso e mi chiede data f:[0,2] $ rarr $ R definita da \( f(x) = \begin{cases} \frac{3x + 1}{(x+1) (x-2)} \\ -2x-\ln x \end{cases} \) la prima funzione frazionaria ha come condizione se x ∈ [o,1] mentre nella seconda funzione dove c'è il logaritmo la condizione è se x ∈ ]1,2] e detta P la primitiva di f passante per il punto (1,5), stabilire quanto vale P(2). Ecco in questo caso non so propio cosa devo fare! Un aiutino?
andar9896
!Adesso ho 2 dubbi su altre apllicazioni degli integrali. Dunque la domanda n. 1 è quando ho esercizi che mi chiedono " Determinare l'area sottesa al grafico della f(x)=..... nell'intervallo [a;b]" prima di tutto devo vedere se la funzione è continua in [a;b] e come faccio a vedere se è continua?
Domanda n.2 qua l'esercizio è diverso e mi chiede data f:[0,2] $ rarr $ R definita da \( f(x) = \begin{cases} \frac{3x + 1}{(x+1) (x-2)} \\ -2x-\ln x \end{cases} \) la prima funzione frazionaria ha come condizione se x ∈ [o,1] mentre nella seconda funzione dove c'è il logaritmo la condizione è se x ∈ ]1,2] e detta P la primitiva di f passante per il punto (1,5), stabilire quanto vale P(2). Ecco in questo caso non so propio cosa devo fare! Un aiutino?
Altra domanda... devo calcolare l'area sottesa al grafico della funzione \( f(x)= x\log (2x+3) \) nell'intervallo [-1,1]. quindi devo vedere nell'intervallo sopra citato se la funzione è positiva, negativa ecc... Come si vede se xlog(2x+3) è > 0 ?? 
$xlog(2x+3)>0$
Se hai un prodotto di $n$ fattori, basta vedere che segno hanno in un determinato intervallo i singoli fattori, per poi fare il prodotto dei segni.
Il primo fattore è positivo per $x>0$ il secondo è
$log(2x+3)>0=>2x+3>1=>x>-1$
Dunque:
per $x=-1$ vale $0$
per $x in(-1,0)$ il primo fattore è negativo per il secondo positivo
per $x=0$ la funzione vale $0$
Per $x in(0,1]$ entrambi i fattori sono positivi
$f(x)>0forallx inRR:x in(0,1]$
$f(x)<0forallx inRR:x in(-1,0)$
"anto_zoolander":$xlog(2x+3)>0$
Se hai un prodotto di $n$ fattori, basta vedere che segno hanno in un determinato intervallo i singoli fattori, per poi fare il prodotto dei segni.
Il primo fattore è positivo per $x>0$ il secondo è
$log(2x+3)>0=>2x+3>1=>x>-1$
Dunque:
per $x=-1$ vale $0$
per $x in(-1,0)$ il primo fattore è negativo per il secondo positivo
per $x=0$ la funzione vale $0$
Per $x in(0,1]$ entrambi i fattori sono positivi
$f(x)>0forallx inRR:x in(0,1]$
$f(x)<0forallx inRR:x in(-1,0)$
Ok grazie
adesso sto facendo un altro esercizio dove dice: Data la funzione f:[0,2] \( \rightarrow \) R definita da\( f(x)=\begin{cases} \frac{4-x}{x^2-2x+2} \\ (2x+1)e^{x^2+x-2} \end{cases} \) la prima equazione frazione ha come condizione se x ∈ [0,1] mentre la seconda equazione ha come condizione se x ∈ ]1,2]
poi l'esercizio continua dicendo di dterminare il valore assunto in x=2 dalla primitiva che in 0 vale 2.
Ora io ragionando sulla primitiva direi che P(x)=F(x)+c quindi P(2)=F(2)+c poi P(0)=2 cioè F(0)+c=2 ora io mi blocco qua perchè sul libro nello svolgimento dell'esercizio viene c=2 quindi vuol dire che sostituendo o alla x nella funzione deve venire 0... Ora io non capisco però una cosa io di solito ho una funzione faccio l'integrale e sostituisco il valore ( in questo caso 0 ) qua invece non si capisce qual'è la funzione perchè è spezzata in due! Quindi non so se bisogna rifarsi a qualche teorema ecc ma io non capisco come ottiene questa c=2 ! Qualche suggerimento? Possibilmente non in maniera molto difficile perchè altrimenti già so che mi perdo
Non è che mi piaccia tanto com'è definito l'esercizio. Il fatto che ci sia una funzione spezzata in due, che si dice 'definita a tratti' o 'definita per casi, non è un problema. Basta tenere conto di quanto vale in un determinato intervallo. Cioè ti chiede di calcolare in $x=2$ la primitiva che è definita nell'intervallo $[0,1]$ e ti da la condizione $F(0)=2$. D'altro canto hai solo la condizione $F(0)=2$ quindi puoi determinare solo il parametro $c$ di una delle due primitive.
ora sfruttiamo la condizione $F(0)=2 => 2=-1/2log2+(3pi)/4+c => c=2+1/2log2-(3pi)/4$ che fa un po schifo come numero.
Dunque calcolando $F(2)$(la cosa non mi piace completamente visto che siamo nell'intervallo $(1,2]$) troviamo che:
in questo caso abbiamo calcolato la primitiva, stabilito il parametro $c$ e calcolato la primitiva in $x=2$. Però c'è qualcosa che non mi convince, perché così non avrebbe nemmeno senso stabilire una funzione a tratti.
Un altro modo di interpretarlo è quello di utilizzare la condizione che mi permette di determinare il parametro $c$, e calcolando la primitiva dell'altro pezzo. Quì però si dovrebbe supporre di utilizzare lo stesso parametro in entrambi gli intervalli di definizione della funzione. In questo caso basta calcolare l'altro integrale, che è immediato:
$F(x)=int(4-x)/(x^2-2x+2)dx=-1/2log(x^2-2x+2)-3arctan(x-1)+c$
ora sfruttiamo la condizione $F(0)=2 => 2=-1/2log2+(3pi)/4+c => c=2+1/2log2-(3pi)/4$ che fa un po schifo come numero.
Dunque calcolando $F(2)$(la cosa non mi piace completamente visto che siamo nell'intervallo $(1,2]$) troviamo che:
$F(2)=-1/2log(4-4+2)-3arctan(2-1)+2+1/2log2-(3pi)/4$
$F(2)=2-(3pi)/2$
$F(2)=2-(3pi)/2$
in questo caso abbiamo calcolato la primitiva, stabilito il parametro $c$ e calcolato la primitiva in $x=2$. Però c'è qualcosa che non mi convince, perché così non avrebbe nemmeno senso stabilire una funzione a tratti.
Un altro modo di interpretarlo è quello di utilizzare la condizione che mi permette di determinare il parametro $c$, e calcolando la primitiva dell'altro pezzo. Quì però si dovrebbe supporre di utilizzare lo stesso parametro in entrambi gli intervalli di definizione della funzione. In questo caso basta calcolare l'altro integrale, che è immediato:
$F(x)=int(2x+1)e^(x^2+x-2)dx=e^(x^2+x-2)+1/2log2-(3pi)/4+2$
$F(2)=e^4+1/2log2-(3pi)/4+2$
$F(2)=e^4+1/2log2-(3pi)/4+2$
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