Integrali reali risolvibili in campo complesso
Mi sono trovata spiazzata di fronte a questo integrale che ho trovato nell'esame di analisi complessa:
$\int_1^\infty (1/(x^4+x^2+1))dx
Di solito questi integrali si risolvono integrando in campo complesso su una semicirconferenza e sfruttando il teorema dei residui ed il lemma di cerchio grande ma questo procedimento ha senso solo se l'intervallo di integrazione è da $\-infty$ a $\+infty$ oppure da 0 a $\infty$ nel caso di una funzione pari (basta dividere per due il risultato). In questo caso non ho idee; anche con un cambio di variabile del tipo $y=x-1$ non risolverebbe il problema in quanto, se anche l'intervallo sarebbe corretto, la funzione non sarebbe più pari.
$\int_1^\infty (1/(x^4+x^2+1))dx
Di solito questi integrali si risolvono integrando in campo complesso su una semicirconferenza e sfruttando il teorema dei residui ed il lemma di cerchio grande ma questo procedimento ha senso solo se l'intervallo di integrazione è da $\-infty$ a $\+infty$ oppure da 0 a $\infty$ nel caso di una funzione pari (basta dividere per due il risultato). In questo caso non ho idee; anche con un cambio di variabile del tipo $y=x-1$ non risolverebbe il problema in quanto, se anche l'intervallo sarebbe corretto, la funzione non sarebbe più pari.
Risposte
usando l'analisi complessa secondo me questo integrale non lo risolve nemmeno gugo82.
nessuno sa farlo?
Questo integrale lo si può risolvere anche senza analisi complessa. Volendo usarla, almeno in parte, si può considerare $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx - \int_{-1}^{1} f(x)dx = 2\int_1^\infty f(x)dx$ in quanto $f(x)$ è pari. Si risolve il primo integrale con l'analisi complessa, il secondo in maniera elementare.
Hai ragione, non ci avevo pensato. Grazie. Purtroppo è obbligatorio passare per il campo complesso 
Comunque alla fine penso che uno possa risolverli come vuole.Quindi
ricorda che $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1) (x^2-x+1)$ quindi
$1/(x^4+x^2+1)=(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2-x+1)$ è una noia mortale fare tutti questi conti
"da scuola elementare" ma una volta determinati $A B C D$ diventa "quite simple " risolverlo.
ricorda che $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1) (x^2-x+1)$ quindi
$1/(x^4+x^2+1)=(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2-x+1)$ è una noia mortale fare tutti questi conti
"da scuola elementare" ma una volta determinati $A B C D$ diventa "quite simple " risolverlo.
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