Integrali razionali

[stefano8612]

Ciao e buon anno a tutti!
Ho qualche problema con il calcolo degli integrali razionali. Pensavo di aver capito il procedimento e invece no perchè la mia soluzione è sempre diversa da quella proposta.
Per esempio:

$\int x/(2x^2-3x-2)dx$

Siccome il grado del numeratore è maggiore di quello del numeratore, uso il procedimento dei fratti semplici. Quindi scompongo in denominatore e ottengo:

$x/(2x^2-3x-2)=x/((x-2)(x+1/2))$ ovvero $x_1=2, x_2=-1/2$
A $(x-2)$ associo $A/(x-2)$ mentre a $(x+1/2)$ associo $B/(x+1/2)$. Quindi ho:

$x/(2x^2-3x-2)=A/(x-2)+B/(x+1/2)=(A(x+1/2)+B(x-2))/((x-2)(x+1/2))$

Posso eliminare i denominatori e quindi ottenere:

$x=Ax+1/2A+Bx-2B$ che diventa $x=(A+B)x+1/2A-2B$

Ora, per il principio di identità dei polinomi, posso costruire il seguente sistema:

$\{(A+B=1),(1/2A-2B=0):}$

Lo risolvo e ho:

$\{(A=4/5),(B=1/5):}$

Perciò:

$x/(2x^2-3x-2)=4/5*1/(x-2)+1/5*1/(x+1/2)$

e quindi:

$\int x/(2x^2-3x-2)dx=\int 4/5*1/(x-2)*dx + \int 1/5*1/(x+1/2)*dx=4/5* \int 1/(x-2)*dx +1/5 * \int 1/(x+1/2)*dx$

Ora sostituisco $t=x-2, x=t+2, dx=dt$ e $u=x+1/2, x=u-1/2, dx=du$:

$= 4/5* \int 1/t*dt +1/5 * \int 1/u*du=4/5*ln(x-2)+1/5 ln(x+1/2) +c$

Ma non è giusto. Qualcuno sa dirmi dove sbaglio?

Grazie

[stefano8612]

Grazie per la risposta. Che errore stupido che ho fatto. Ho appena rifatto l'esercizio stando attento alla scomposizione ma comunque mi è venuto un risultato diverso da quello richiesto..

[stefano8612]

Ok ora mi sento abbastanza stupido. E' uno dei primi esercizi sugli integrali che faccio ma... da dove sono usciti $1/10$ e $2/5$? Scusa ma non capisco...

[stefano8612]

Ora è chiaro. Grazie!
Solo una domanda: Questa tecnica dei fratti semplici posso usarla anche quando al numeratore non ho un polinomio ma un semplice numero?

[stefano8612]

Chiarissimo e gentilissimo! Grazie mille