Integrali primi in un'equazione differenziale vettoriale
Sia dato il sistema
${(dotx=yz),(doty=-xz),(dotz=-k^2*xy):}$
1) trovare i punti di equilibrio.
Questo è facile: i punti di equilibrio sono tutti e soli gli $(x,y,z)\inRR^3$ tali che $yz=0,xz=0,xy=0$.
2) siano date le funzioni scalari $F_1(x,y,z)=x^2+y^2$ e $F_2(x,y,z)=k^2*x^2+z^2$. Dimostrare che sono integrali primi.
Ho intenzione di usare il seguente fatto: data l'equazione differenziale $y'(t)=f(t,y(t))$, con $f:\Omega\subsetRR\timesRR^n\toRR^n$, gli integrali primi $F$ sono tutte e sole le funzioni da $\Omega$ in $RR$ tali che $(\delF)/(\delt)+sum_{i=1}^n((delF)/(dely_i)f_i)=0$.
Il problema, nel mio caso, è che non ho $f:RRtimesRR^3toRR^3$ che mi definisce l'equazione differenziale in forma normale. Ho ragionato così:
${(x=yzt),(y=-xzt),(z=-k^2*xyt):}$
dove ho tralasciato le costanti di integrazione.
Facendo i conti col teorema sopra enunciato, mi torna esattamente 0.
3) dare un'interpretazione geometrica dei risultati trovati.
E qui non so da dove partire (salvo capire la natura geometrica dell'insieme dei punti di equilibrio). Potreste darmi un suggerimento? E poi, va bene come ho svolto il punto 2)? Attendo un vostro responso
EDIT: quando ho enunciato il teorema, con $y_i$ intendo le variabili "spaziali" dell'equazione differenziale, mentre con $f_i$ intendo le componenti di $f$.
${(dotx=yz),(doty=-xz),(dotz=-k^2*xy):}$
1) trovare i punti di equilibrio.
Questo è facile: i punti di equilibrio sono tutti e soli gli $(x,y,z)\inRR^3$ tali che $yz=0,xz=0,xy=0$.
2) siano date le funzioni scalari $F_1(x,y,z)=x^2+y^2$ e $F_2(x,y,z)=k^2*x^2+z^2$. Dimostrare che sono integrali primi.
Ho intenzione di usare il seguente fatto: data l'equazione differenziale $y'(t)=f(t,y(t))$, con $f:\Omega\subsetRR\timesRR^n\toRR^n$, gli integrali primi $F$ sono tutte e sole le funzioni da $\Omega$ in $RR$ tali che $(\delF)/(\delt)+sum_{i=1}^n((delF)/(dely_i)f_i)=0$.
Il problema, nel mio caso, è che non ho $f:RRtimesRR^3toRR^3$ che mi definisce l'equazione differenziale in forma normale. Ho ragionato così:
${(x=yzt),(y=-xzt),(z=-k^2*xyt):}$
dove ho tralasciato le costanti di integrazione.
Facendo i conti col teorema sopra enunciato, mi torna esattamente 0.
3) dare un'interpretazione geometrica dei risultati trovati.
E qui non so da dove partire (salvo capire la natura geometrica dell'insieme dei punti di equilibrio). Potreste darmi un suggerimento? E poi, va bene come ho svolto il punto 2)? Attendo un vostro responso
EDIT: quando ho enunciato il teorema, con $y_i$ intendo le variabili "spaziali" dell'equazione differenziale, mentre con $f_i$ intendo le componenti di $f$.
Risposte
"matths87":ma tu si 'ppazzo!
Il problema, nel mio caso, è che non ho $f:RRtimesRR^3toRR^3$ che mi definisce l'equazione differenziale in forma normale.
Come no?
Solo perché hai un sistema autonomo? Cioè la tua $f$ non "dipende esplicitamente da t"?
Aggiungo che quando dici: "dove ho tralasciato le costanti di integrazione", mi vengono i brividi.
Dai, un buon caffè e riparti.
Cominciando con lo scrivere chi è la tua $f$
Sì, sì, l'altro giorno ero proprio andato quando ho scritto questo messaggio.
Allora, provo a correggermi: $f:RR^3\toRR^3$ è $((x),(y),(z))\mapsto((yz),(-xz),(-k^2xy))=((dotx),(doty),(dotz))$.
Correggo anche la castronata che ho scritto dopo: per dimostrare, ad esempio, che $F_1$ è integrale primo posso procedere in due modi.
1) $(dF_1)/(dt)=2xdotx+2ydoty=0$ (basta sostituire con le espressioni che si ricavano da $f$).
2) osservato che $(\delF_1)/(delt)=0$, far vedere che $\nablaF_1(x,y,z)\cdot f(x,y,z)=0$ (facile pure questo).
Mi sono fatto perdonare?
EDIT: aggiungo, per il quesito successivo, che i punti di equilibrio sono tutti e soli i punti degli assi cartesiani.
Allora, provo a correggermi: $f:RR^3\toRR^3$ è $((x),(y),(z))\mapsto((yz),(-xz),(-k^2xy))=((dotx),(doty),(dotz))$.
Correggo anche la castronata che ho scritto dopo: per dimostrare, ad esempio, che $F_1$ è integrale primo posso procedere in due modi.
1) $(dF_1)/(dt)=2xdotx+2ydoty=0$ (basta sostituire con le espressioni che si ricavano da $f$).
2) osservato che $(\delF_1)/(delt)=0$, far vedere che $\nablaF_1(x,y,z)\cdot f(x,y,z)=0$ (facile pure questo).
Mi sono fatto perdonare?
EDIT: aggiungo, per il quesito successivo, che i punti di equilibrio sono tutti e soli i punti degli assi cartesiani.
"matths87":
$f:RR^3\toRR^3$ è $((x),(y),(z))\mapsto((yz),(-xz),(-k^2xy))=((dotx),(doty),(dotz))$.
Io cancellerei l'ultima uguaglianza:
$f:RR^3\toRR^3$ è $((x),(y),(z))\mapsto((yz),(-xz),(-k^2xy))$
Anzi, visto che formalmente $f$ è una funzione di 4 variabili, ancora meglio scrivere:
$f:RR^4\toRR^3$ è $((t),(x),(y),(z))\mapsto((yz),(-xz),(-k^2xy))$
Vorrei essere certo delle strade che segui per provare che $F_1$ è un integrale primo.
La prima usa il fatto che un integrale primo "è costante su una soluzione", ho capito bene?
La seconda applica la formula che hai scritto, e cioè:
$(\delF)/(\delt)+sum_{i=1}^n((delF)/(dely_i)f_i)=0$,
Da cui viene:
$0 + 2x \cdot yz + 2y \cdot (-xz) + 0 \cdot (-k^2 xy)$
Ovvero:
$2xyz - 2xyz$ che è zero.
Mi pare di capire che i conti sono questi, solo che li hai "fatti a parte" per $t$ e per le "variabili spaziali".
Comunque il caffè ti ha fatto bene!
Dal basso della mia preparazione, ti avanzo due domande/osservazioni.
1) perchè cancelleresti l'uguaglianza?
2) hai scritto, in maniera più precisa di me, che $f:RR^4->RR^3$. Dal punto di vista pratico, io ho usato come dominio $RR^3$ poichè l'equazione è autonoma. Secondo te è un errore?
Grazie per l'attenzione.
EDIT: per dimostrare che si parla di integrali primi, ho ragionato esattamente come hai detto tu (forse sono stato troppo stringato nella spiegazione).
1) perchè cancelleresti l'uguaglianza?
2) hai scritto, in maniera più precisa di me, che $f:RR^4->RR^3$. Dal punto di vista pratico, io ho usato come dominio $RR^3$ poichè l'equazione è autonoma. Secondo te è un errore?
Grazie per l'attenzione.
EDIT: per dimostrare che si parla di integrali primi, ho ragionato esattamente come hai detto tu (forse sono stato troppo stringato nella spiegazione).
"matths87":
Dal basso della mia preparazione, ti avanzo due domande/osservazioni.
1) perchè cancelleresti l'uguaglianza?
2) hai scritto, in maniera più precisa di me, che $f:RR^4->RR^3$. Dal punto di vista pratico, io ho usato come dominio $RR^3$ poichè l'equazione è autonoma. Secondo te è un errore?
1) Ma perché il fatto che ti interessi uguagliare i valori di $f$ con delle derivate prime (spero tu mi conceda questo modo barbaro di esprimermi) è una cosa che riguarda cosa intendi fare della $f$. Non ha niente a che vedere con la definizione della funzione.
Provo a ridirlo in un alto modo. Il dato di una equazione differenziale (del primo ordine, in forma normale) è una funzione $f:A \sube RR^2 \to RR$. Ad esempio, che so, $f(x,y) = xy+y$. E la $f$ è "finita qui".
Poi, prendi il dato, cioè la $f$, e pretendi che valga questa uguaglianza: $y'(x) = f(x,y(x))$ per ogni x in un qualche appropriato intervallo.
2) Da un punto di vista pratico non vedo differenze. L'ho presa definita su $RR^4$ perché tu avevi parlato di una $f$ definita su un sottoinsieme di $RR^4$. Insomma, ho cercato di essere coerente al posto tuo
Ok, ora è chiaro: tutta questione di precisione.
Cosa si potrebbe intendere, secondo te, per "interpretazione geometrica" in rapporto a questo esercizio (che sarebbe il terzo punto dell'esercizio)?
Cosa si potrebbe intendere, secondo te, per "interpretazione geometrica" in rapporto a questo esercizio (che sarebbe il terzo punto dell'esercizio)?
"matths87":Esatto, si tatta semplicemente di usare il linguaggio matematico e la precisione che esso richiede, o di parlare come al bar sport.
Ok, ora è chiaro: tutta questione di precisione.
"matths87":Io partirei dal fondo, cioè dalla conoscenza che hai degli integrali primi e quindi delle orbite del sistema.
Cosa si potrebbe intendere, secondo te, per "interpretazione geometrica" in rapporto a questo esercizio (che sarebbe il terzo punto dell'esercizio)?
Terrei anche conto del fatto che c'è una quasi simmetria.fa le tre equazioni (si vede bene per k=1).
Userei anche il fatto interessante che la dinamica nella coordinata "tot" dipende esplicitamente solo dai valori delle altre coordinate.
Ultima cosa: hai due integrali primi "funzionalmente indipendenti". Ma può valere la pena di considerarne un terzo, che così ti dà un quadro più "simmetrico" della situazione. E hai anche una descrizione più ricca ed utile delle orbite del sistema.
NB: mi pare tu non abbia considerato il caso k=0.
Allora, gli integrali primi del sistema sono tutti e sole le soluzioni di $(delE)/(delx)dotx+(delE)/(dely)doty+(delE)/(delz)dotz=0$. Questa è una PDE (di questo argomento so ben poco): un nuovo integrale primo (dipendente solo da $y$ e $z$) è $F_3(x,y,z)=y^2-2/k^2z^2$. Infatti $(dF_3)/(dt)=2ydoty-2/(k^2)zdotz=-2xyz+2/(k^2)xyzk^2=0$. Questo dovrebbe essere "funzionalmente indipendente" dagli altri due.
Altra cosa che mi pare interessante: consideriamo gli insiemi di livello di $F_1$, cioè ${(x,y,z)^T\inRR^3|x^2+y^2=c}$. Si tratta, ovviamente, di cilindri infiniti: per la definizione di integrale primo, possiamo affermare che una soluzione dell'equazione differenziale che ha un punto in uno di questi insiemi di livello vi è contenuta tutta?
EDIT: chiaramente si potrebbe fare un discorso analogo per gli insiemi di livello di $F_2$ e $F_3$.
Altra cosa che mi pare interessante: consideriamo gli insiemi di livello di $F_1$, cioè ${(x,y,z)^T\inRR^3|x^2+y^2=c}$. Si tratta, ovviamente, di cilindri infiniti: per la definizione di integrale primo, possiamo affermare che una soluzione dell'equazione differenziale che ha un punto in uno di questi insiemi di livello vi è contenuta tutta?
EDIT: chiaramente si potrebbe fare un discorso analogo per gli insiemi di livello di $F_2$ e $F_3$.
"matths87":Funzionalmente dipendente.
Questo dovrebbe essere "funzionalmente indipendente" dagli altri due.
"matths87":yes
Altra cosa che mi pare interessante: consideriamo gli insiemi di livello di $F_1$, cioè ${(x,y,z)^T\inRR^3|x^2+y^2=c}$. Si tratta, ovviamente, di cilindri infiniti: per la definizione di integrale primo, possiamo affermare che una soluzione dell'equazione differenziale che ha un punto in uno di questi insiemi di livello vi è contenuta tutta?
"matths87":Funzionalmente dipendente.
Questo dovrebbe essere "funzionalmente indipendente" dagli altri due.
"matths87":yes
Altra cosa che mi pare interessante: consideriamo gli insiemi di livello di $F_1$, cioè ${(x,y,z)^T\inRR^3|x^2+y^2=c}$. Si tratta, ovviamente, di cilindri infiniti: per la definizione di integrale primo, possiamo affermare che una soluzione dell'equazione differenziale che ha un punto in uno di questi insiemi di livello vi è contenuta tutta?
Noticina maligna:
"matths87":
${(x,y,z)^T\inRR^3|x^2+y^2=c}$
ma chi ti ha detto che gli elementi di $RR^3$ sono "vettori colonna", ovvero matrici 3 per 1?
Ora sarebbe interessante intersecare gli insiemi di livello dei nostri integrali primi (a occhio e croce - pura congettura, non ho fatto conti - si dovrebbe ottenere una varietà di dimensione 1 e quindi ricondurci a un problema unidimensionale).
Ti ringrazio per l'attenzione e alla prossima.
EDIT: rispondo alla tua "noticina maligna": nei corsi di geometria, abbiamo sempre rappresentato gli elementi di $RR^n$ come vettori colonna; mi porto dietro questa eredità
Ti ringrazio per l'attenzione e alla prossima.
EDIT: rispondo alla tua "noticina maligna": nei corsi di geometria, abbiamo sempre rappresentato gli elementi di $RR^n$ come vettori colonna; mi porto dietro questa eredità
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo