Integrali primi

[enr87]

volevo avere conferma se nella definizione che viene data di integrale primo qui (pagina 4 in basso):
http://www.math.unipd.it/~marson/didatt ... uadiff.pdf
si (sott)intende che $phi$ è una funzione suriettiva

[gugo82]

Perchè [tex]$\varphi$[/tex] dovrebbe essere suriettiva?

[enr87]

ho pensato che siccome V è l'insieme delle soluzioni (dominio di f), allora $phi$, essendo soluzione, dovrà per forza avere come immagine tutto V. cosa sbaglio?

[gugo82]

Non è detto che l'immagine di una soluzione di [tex]$y^\prime =f(y)$[/tex] sia tutto l'insieme di definizione di [tex]$f$[/tex].

Ad esempio, prendi

[tex]$y^\prime = y$[/tex];

il secondo membro è definito in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], però le soluzioni massimali sono del tipo:

[tex]$\varphi (t)=c\ e^t$[/tex]

ed assumono o solo valori positivi o solo valori negativi (a parte il caso banale in cui la soluzione è identicamente nulla).

[enr87]

forse ho capito il punto che sbagliavo: se anzichè considerare una soluzione, considero tutte le soluzioni del tipo $phi(t)$ (credo si possa parlare di "spazio" delle soluzioni) dell'eq differenziale, nel caso che mi hai appena illustrato avrei che tutto $RR$, cioè tutto il dominio di f(y), verrebbe "coperto" dall'insieme delle immagini. e mi pare che questo si possa generalizzare a tutte le equazioni del tipo y' = f(y). ora è corretto?

[gugo82]

Quello che dici si risolve col teorema di esistenza locale.

Se [tex]$f$[/tex] è abbastanza buona (diciamo Lipschitz), allora comunque fissi un punto iniziale [tex]$y_0\in \mathcal{V}$[/tex] esiste una soluzione locale a:

[tex]$\begin{cases} y^\prime =f(y) \\ y(0)=y_0\end{cases}$[/tex];

ergo è evidente che puoi ricoprire il dominio di [tex]$f$[/tex] con tanti codomini di soluzioni massimali.
Detta in altro modo, l'unione dei codomini di tutte le possibili soluzioni massimali di [tex]$y^\prime =f(y)$[/tex] deve necessariamente contenere tutto l'aperto [tex]$\mathcal{V}$[/tex] se [tex]$f$[/tex] è abbastanza buona.

Però le singole soluzioni massimali non sono tenute ad avere come codominio tutto [tex]$\mathcal{V}$[/tex].

[enr87]

ovvero, fissato il dato iniziale, il p. di cauchy ha soluzione (unica) se f è localmente lipschitziana, ovvero esiste una $phi(t)$ per ogni $y_0$ "fissato"..giusto? in effetti è quello che dice il teorema di esistenza, ma non avevo colto la relazione con la mia domanda inizialmente.
grazie mille