Integrali per sostituzione

[zannas]

Ciao a tutti, ho un paio di problemi con gli integrali per sostituzione. Ne ho fatti, mi vengono ma ce ne sono 2-3 che proprio non riesco a fare. Mi dareste na mano?

1 - $\int 1 / (x^2+4x+5) dx $
2 - $\int 1 / (\sqrt(e^(2x)-1)) dx $
3 - $\int cos(\sqrt(x+1)) / \sqrt(x+1) dx $

Grazie 1000
e Buon Natale

[Sk_Anonymous]

il primo è banale

$int1/(x^2+4x+5)dx=int1/(x^2+4x+4+1)dx=int1/((x+2)^2+1)dx=arctan(x+2)+c

[zannas]

mamma che scemo, non c'avevo pensato... PS: cmq odio sti giochetti matematici
Grazie 1000 comunque

[Sk_Anonymous]

il terzo

$sqrt(x+1)=y rArr x=y^2-1 rArr dx=2ydy

risulta

$2intcosydy=2siny+c rArr 2sin(sqrt(x+1))+c

[fu^2]

2 - $\int 1 / (\sqrt(e^(2x)-1)) dx

pongo $sqrt(e^(2x)-1 ) =t=>e^(2x)-1=t^2=>x=1/2*log(t^2+1)=>dx=1/2(2t)/(t^2+1)dt

$int1/t*t/(t^2+1)dt=int1/(t^2+1)dt=arctgt+C=arctgsqrt(e^(2x)-1 )+C

dovrebbe esser corretto salvo sviste

[Sk_Anonymous]

secondo

poni $sqrt(e^(2x)-1)=y rArr x=1/2ln(y^2+1) rArr dx=y/(y^2+1)dy

[zannas]

"fu^2":2 - $\int 1 / (\sqrt(e^(2x)-1)) dx

pongo $sqrt(e^(2x)-1 ) =t=>e^(2x)-1=t^2=>x=1/2*log(t^2+1)=>dx=1/2(2t)/(t^2+1)dt

$int1/t*t/(t^2+1)dt=int1/(t^2+1)dt=arctgt+C=arctgsqrt(e^(2x)-1 )+C

dovrebbe esser corretto salvo sviste

purtroppo è errato e non riesco a capire il perchè. il risultato è: $ -arcsin(e^-x) + c $

[zannas]

e $ int tg(x) dx $ come si fa a farlo con la sostituzione?

[_Tipper]

$\cos(x) = t$

[fu^2]

"zannas":[quote="fu^2"]2 - $\int 1 / (\sqrt(e^(2x)-1)) dx

pongo $sqrt(e^(2x)-1 ) =t=>e^(2x)-1=t^2=>x=1/2*log(t^2+1)=>dx=1/2(2t)/(t^2+1)dt

$int1/t*t/(t^2+1)dt=int1/(t^2+1)dt=arctgt+C=arctgsqrt(e^(2x)-1 )+C

dovrebbe esser corretto salvo sviste

purtroppo è errato e non riesco a capire il perchè. il risultato è: $ -arcsin(e^-x) + c $[/quote]

pensa un pò son la stessa funzione traslata!
infatti

$d/(dx)atgsqrt(e^(2x)-1)=(2e^(2x))/(1+(e^(2x)-1))*1/(2sqrt(e^(2x)-1))=1/sqrt(e^(2x)-1)
$d/dx-asin(e^(-x))=-(-e^(-x))/(sqrt(1-e^(-2x)))=(e^x/sqrt(e^(2x)-1))(e^(-x))=1/(sqrt(e^(2x)-1)

quindi le due funzioni sono una il traslato dell'altra

[gugo82]

"fu^2":[quote="zannas"][quote="fu^2"]2 - $\int 1 / (\sqrt(e^(2x)-1)) dx

pongo $sqrt(e^(2x)-1 ) =t=>e^(2x)-1=t^2=>x=1/2*log(t^2+1)=>dx=1/2(2t)/(t^2+1)dt

$int1/t*t/(t^2+1)dt=int1/(t^2+1)dt=arctgt+C=arctgsqrt(e^(2x)-1 )+C

dovrebbe esser corretto salvo sviste

purtroppo è errato e non riesco a capire il perchè. il risultato è: $ -arcsin(e^-x) + c $[/quote]

pensa un pò son la stessa funzione traslata!:wink:[/quote]
Ciò avviene perchè il libro sceglie la sostituzione più semplice $t=e^(-x)$ a occhio e croce.

Difatti trovi con semplici passaggi:

$\int 1 / (\sqrt(e^(2x)-1)) "d"x=\int (e^-x)/(sqrt(1-e^(-2x))) "d"x=-\int 1/(sqrt(1-[e^(-x)]^2)) "d"(e^(-x))=-\int 1/(sqrt(1-t^2)) "d"t=-arcsin(t)=-arcsin(e^(-x))$.

[zannas]

Vedo, infatti ecco le due funzioni:
[img]http://zannas.netsons.org/AltriProgetti/GraphMath/graph.php?xmin=-7.2&xmax=7.2&ymin=-7.2&ymax=7.2&w=800&h=600&f=YXRhbihzcXJ0KHBvdygyLjcxLDIqeCktMSkp&f2=LWFzaW4ocG93KDIuNzEsLXgpKQ==[/img]
http://zannas.netsons.org/AltriProgetti ... EsLXgpKQ==

[zannas]

"Tipper":$\cos(x) = t$

allora:
`int tg(x) dx => int sin(x)/cos(x) dx`
$cos(x) = t => x = arctg(t) => -1/sqrt(1-t^2) dt = dx$
ma $sin(x) = 1-cos^2(x)$
$=> int sqrt(1-cos^2(x))/cos(x) dx => int sqrt(1-t^2)/t * -1/sqrt(1-t^2) dt => int -1/t dt => -int 1/t dt = -log| t | + c => -log| cos(x) | +c $
che è errato perchè dovrebbe risultare:
$ -log| 1/cos(x) | +c $
dov'è l'errore?

[_Tipper]

Guarda che $-\log|\cos(x)| + c$ non è mica sbagliato... In ogni caso, per farla più semplice, una volta posto $t = \cos(x)$, non esplicitare la $x$, ma osserva che $dt = - \sin(x) dx$.

[zannas]

ma che io espliciti o meno la x in generale, cambia qualcosa o no?

[_Tipper]

Se si fanno le cose per bene non cambia nulla, ma può succedere che seguire una strada porti alla soluzione molto più agevolmente rispetto all'altra.

[zannas]

"fu^2":[quote="zannas"][quote="fu^2"]2 - $\int 1 / (\sqrt(e^(2x)-1)) dx

pongo $sqrt(e^(2x)-1 ) =t=>e^(2x)-1=t^2=>x=1/2*log(t^2+1)=>dx=1/2(2t)/(t^2+1)dt

$int1/t*t/(t^2+1)dt=int1/(t^2+1)dt=arctgt+C=arctgsqrt(e^(2x)-1 )+C

dovrebbe esser corretto salvo sviste

purtroppo è errato e non riesco a capire il perchè. il risultato è: $ -arcsin(e^-x) + c $[/quote]

pensa un pò son la stessa funzione traslata!
infatti

$d/(dx)atgsqrt(e^(2x)-1)=(2e^(2x))/(1+(e^(2x)-1))*1/(2sqrt(e^(2x)-1))=1/sqrt(e^(2x)-1)
$d/dx-asin(e^(-x))=-(-e^(-x))/(sqrt(1-e^(-2x)))=(e^x/sqrt(e^(2x)-1))(e^(-x))=1/(sqrt(e^(2x)-1)

quindi le due funzioni sono una il traslato dell'altra [/quote]ma questo significa anche che per questa funzione esistono 2 primitive ?

[_Tipper]

Se una funzione ammette una primitiva ne ammette infinite...

[zannas]

"Tipper":Se una funzione ammette una primitiva ne ammette infinite...

non era: infinite al variare di una costante?
PS complimenti sei molto preparato e grazie x le tue risposte

[_Tipper]

Sì. Se due funzioni (definite su uno stesso intervallo) hanno la stessa derivata allora differiscono per una costante additiva.