Integrali per sostituzione
Ciao a tutti! Ho un dubbio sull'integrazione per sostituzione (cambio variabile): per spiegarmi meglio porto direttamente il seguente esempio
\(\displaystyle \int \frac{1-3x}{3+2x} \)
per risolverlo ho applicato la sostituzione \(\displaystyle t=2x+3 \), quindi \(\displaystyle dt = 2x \) ed il risultato finale è \(\displaystyle \frac{11}{2} log |2x+3| - \frac{3}{2}x+\frac{9}{4} + c \).
È normale che ci sia quella costante 9/4? Il testo riporta come soluzione il mio risultato ottenuto senza la costante, ma so anche che il 9/4 potrebbe rientrare nella generica costante c...
\(\displaystyle \int \frac{1-3x}{3+2x} \)
per risolverlo ho applicato la sostituzione \(\displaystyle t=2x+3 \), quindi \(\displaystyle dt = 2x \) ed il risultato finale è \(\displaystyle \frac{11}{2} log |2x+3| - \frac{3}{2}x+\frac{9}{4} + c \).
È normale che ci sia quella costante 9/4? Il testo riporta come soluzione il mio risultato ottenuto senza la costante, ma so anche che il 9/4 potrebbe rientrare nella generica costante c...
Risposte
Ciao Pendolare96,
Vedo diversi errori in ciò che hai scritto, a cominciare dalla scrittura dell'integrale, dove ti sei dimenticato il $dx$:
$\int \frac{1-3x}{3+2x} dx$
Poi la sostituzione:
No... Se $t = 2x + 3 \implies dt = 2 dx \implies dx = frac{1}{2}dt$ e $x = frac{t - 3}{2} \implies 1 - 3x = 1 - frac{3t - 9}{2}$
Neanche... Il risultato finale mi risulta il seguente:
$\int \frac{1-3x}{3+2x} dx = frac{1}{4}(11\log|2x + 3| - 6x - 9) + c $
Vedo diversi errori in ciò che hai scritto, a cominciare dalla scrittura dell'integrale, dove ti sei dimenticato il $dx$:
$\int \frac{1-3x}{3+2x} dx$
Poi la sostituzione:
"Pendolare96":
per risolverlo ho applicato la sostituzione $t=2x+3$, quindi $dt=2x$
No... Se $t = 2x + 3 \implies dt = 2 dx \implies dx = frac{1}{2}dt$ e $x = frac{t - 3}{2} \implies 1 - 3x = 1 - frac{3t - 9}{2}$
"Pendolare96":
ed il risultato finale è $frac{11}{2}\log|2x+3|−frac{3}{2}x+frac{9}{4}+c$.
Neanche... Il risultato finale mi risulta il seguente:
$\int \frac{1-3x}{3+2x} dx = frac{1}{4}(11\log|2x + 3| - 6x - 9) + c $
Pilloeffe, grazie per la tua risposta! Mi rendo conto solo ora che, leggendo di nuovo, ho scritto il post in un momento di fretta ed ho commesso diversi errori. Riporto le precisazioni:
- [*:2f5pvqbh]Ovviamente il \(\displaystyle dx \), sia nell'integrale che nel passaggio di variabile (che mi viene tranquillamente)[/*:2f5pvqbh][*:2f5pvqbh]il risultato riportato del testo è: \(\displaystyle -\frac{3}{2}x+\frac{11}{4}ln|3+2x|+c \), mentre il mio risultato è \(\displaystyle -\frac{3}{2}x+\frac{11}{4}ln|3+2x|+\frac{9}{4}+c \)[/*:2f5pvqbh] [/list:u:2f5pvqbh].
Il motivo del post era il chiedere se è normale che mi esca quel "9/4", e se debba essere incluso nella costante c.
Il dubbio principale consiste nel fatto che ho un po' di confusione sul cambio variabile: personalmente preferisco, in questi casi, porre subito t=(variabile) e risolvere, mentre cambiando implicitamente variabile di integrazione (nel nostro caso si passerebbe da dx a d(3+2x)) ad altri colleghi quel 9/4 non appare.
Chiedo scusa ancora per gli errori!
"Pendolare96":
Chiedo scusa ancora per gli errori!
Ma di niente...
"Pendolare96":
Il motivo del post era il chiedere se è normale che mi esca quel "9/4", e se debba essere incluso nella costante c.
Certo, si può includere in $c$ come ha fatto il tuo testo, oppure tenerla separata come hai fatto tu: il risultato è corretto in ogni modo...
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