Integrali per sostituzione

[marione111]

Ciao... leggerete molto spesso le mie "penose" richieste di aiuto. Gli integrali mi stanno mettendo in crisi! Purtroppo dopo aver letto qualche esempio riesco a fare quei pochi esercizi che sono già svolti sugli eserciziari, ma di quelli che hanno solo la soluzione me la cavo bene solo con i primi mentre la maggior parte non riesco proprio a risolverli... insomma ne so fare ben pochi. Ve ne scrivo alcuni che ho provato a fare stamattina senza concludere nulla.

$1) int (xe^x)/(e^x+1)^2 dx$

ho provato a porre $e^x = t$ oppure $"e^x + 1 = t$ ma niente... non so come continuare

$2) int (root(2)(cosx) + 1)tanx dx$

qui non so proprio dove mettere mano... ho provato a porre $cosx=t$ ma non so come scriver ela tangente in funzione del coseno... ammesso che sia questa la strada

$3) int (x^5)/(cos^2 x^3) dx$

qui pensavo di cavarmela sostituendo $x^3=t$... inutile aggiungere che l'entusiasmo è calato subito dopo la sostituzione

$4) (x^2)/[(x^2 - 9)root(2)(x^2 - 9)]$

qui panico

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Passerei giornate intere per diversi mesi a "tentare" di imparare come risolvere questi esercizi, ma purtroppo dovrò pur dare l'esame (nel più breve tempo possibile... anche se in realtà mi è già saltato il programma . speravo di farcela in un mese o poco più contando di fare una 40ina di esercizi al giorno, ma purtroppo mi trovo in difficoltà con ogni esercizio, 40 esercizi li avrò fatti si e no in una settimana ) quindi chiedo il vostro aiuto

[Lo_zio_Tom]

il primo facilmente per parti ponendo:

x= fattore finito

$ e^x/(e^x+1)^2 $ = come fattore differenziale

[Lo_zio_Tom]

il secondo lo spezzi...e diventano due integrali quasi immediati...se esprimi tanx come senx/cosx

[Lo_zio_Tom]

il terzo: la sostituzione che hai provato era giusta


$ intx^5/cos^2(x^3)dx =1/3intx^3/cos^2(x^3)3x^2dx =1/3intx^3/cos^2(x^3)dx^3 =1/3intt/cos^2tdt= $

$=1/3intt1/cos^2tdt=1/3inttd(tant) $

da fare per parti

[Brancaleone1]

Per il quarto da panico dovrebbe bastare la sostituzione $x^2-9=t$ per ritrovare una forma decisamente più semplice da calcolare.

EDIT: no non basta...

[Lo_zio_Tom]

caro brancaleone.....mi controlli [cortesemente] il terzo che non abbia detto stupidaggini??

[Lo_zio_Tom]

"Brancaleone":Per il quarto da panico dovrebbe bastare la sostituzione $x^2-9=t$ per ritrovare una forma decisamente più semplice da calcolare

boh....io di primo acchito farei subito la sostituzione $ x=3sectheta $ e via....

miiii funziona subito....ottengo

$ int1/(sen^2xcosx)dx $ che è praticamente fatto!! se consideri che $1= sin^2x+cos^2x $

[Brancaleone1]

@tommik Mi sembra ok

[Lo_zio_Tom]

ok marione....te li abbiamo spiegati (quasi fatti) tutti.....ci devi un caffè....

ricapitolando:

1) facile, per parti con x fattore finito
2) da spezzare poi facilissimo se esprimi tanx=senx / cosx
3) mmmhhh hai azzeccato la sostituzione ma dovevi insistere
4) sostituzione trigonometrica "da manuale"

ora spieghiamo (fondamentale, a mio avviso) perché nel caso 4) abbiamo scelto la sostituzione $ x=3sectheta $

a tal proposito consideriamo un triangolo rettangolo di ipotenusa x, cateto 3 e, ovvimente, altro cateto pari a $ sqrt(x^2-9 $ .

Come vediamo, il cateto $sqrt(x^2-9$ è proprio la parte più ostica della nostra funzione integranda; allora, utilizzando un teorema fondamentale dei triangoli rettangoli, ovvero: "un cateto è pari all'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente" otteniamo che:

$ 3=xcostheta $ cioè

$ 3sectheta=x $

ovvero proprio la sostituzione proposta da tutti i manuali...

[marione111]

grazie mille per l'aiuto... ora me li guardo per bene

solo una cosa... il primo dovrebbe essere risolvibile anche solo per sostituzione visto che lo sul mio eserciziario sta in quella sezione, ma non so in che modo. in ogni caso grazie ancora per l'enorme aiuto.

un caffè? ma anche due! però giusto per essere chiari... NON VI LIBERERETE DI ME TANTO FACILMENTE ahhah ... no davvero, sto così incasinato che scriverò ancora tanti altri messaggi di aiuto! non smetterò mai di ringraziarvi

[Lo_zio_Tom]

Il primo subito per sost la vedo dura...sostituirai dopo

[Lo_zio_Tom]

ora, visto che devi prepararti per l'esame e qualche lacuna c'è ...vediamo di ottimizzare il tempo con un corso accelerato sulle strategie di integrazione....non me ne vogliate se il linguaggio non sarà formalissimo...ma io sono laureato in economia

ESEMPIO 1) $ int(xe^x)/(1+e^x)^2dx $ in questo caso non ci sono dubbi....abbiamo all'interno dell'integranda sia x che $e^x$...è inutile tentare vie traverse...se sostituisci ed elimini $e^x$, la x diventerà $logx$ e non ne vieni fuori più...l'integrale è da fare per parti....
Notiamo subito che la primitiva di $e^x/(1+e^x)^2$ è facilmente calcolabile in $-1/(1+e^x)$ [il numeratore è la derivata dell'argomento del denominatore]..e allora via con la formula per parti:

$ int(xe^x)/(1+e^x)^2dx =-x/(1+e^x)-int-1/(1+e^x)dx =-x/(1+e^x)+int1/(1+e^x)dx=$

$ =-x/(1+e^x)+int1/(t(1+t))dt=-x/(1+e^x)+int1/(t)dt-int1/(t+1)dt=$

$ -x/(1+e^x)+x-log(e^x+1)+C$

controlliamo che il risultato sia giusto derivando:

$ d/dxf=(-(e^x+1)+xe^x)/(e^x+1)^2+1-e^x/(e^x+1)=(-e^x-1+xe^x+e^(2x)+2e^x+1-e^(2x)-e^x)/(e^x+1)^2=xe^x/(e^x+1)^2$

Nota: per la scomposizione in fratti semplici...essendo così "semplice" non serve fare tutto il sistema di equazioni...basta un colpo d'occhio e via....dovresti subito trovare il risultato (al massimo fai un paio di prove su un foglietto e vedrai che è semplicissimo)...

[Lo_zio_Tom]

ESEMPIO 2) $ int(sqrt(cosx)+1)tanxdx $

si vede subito che è un integrale senza difficoltà dal fatto che non ci sono esponenti elevati, il radicando è di grado 1...basta una semplice sostituzione. Però tengo a sottolineare come la sostituzione vada fatta "dopo" aver analizzato bene l'integrale, quindi consiglio prima di modificare il fattore differenziale opportunamente. Ciò allena molto "l'occhio" nel vedere un passo avanti....vediamo come:

essendoci una somma....la prima cosa da fare è dividere il problema in due (regola d'oro: meglio due problemi piccoli che uno grosso).

$ intcos^(1/2)(x)(senx)/cosxdx+int(senx)/cosxdx=int(senx)/cos^(1/2)(x)dx+int(senx)/cosxdx$

ricordando che $d/dxsenx=cosx$ e quindi $dsenx=cosxdx$ otteniamo:

$-intcos^(-1/2)(x)dcosx-int1/cosxdcosx=-2cos^(1/2)(x)-log|cosx|+C$

senza nemmeno scomodarci a cambiare visivamente la variabile (in realtà abbiamo sostituito perché abbiamo cambiato differenziale, ma siccome siamo bravi non abbiamo ritenuto necessario evidenziare questa sostituzione cambiando la letterina della variabile).

Come al solito, deriviamo e controlliamo la correttezza della soluzione trovata:

$d/dxf=(senx)/sqrt(cosx)+(senx)/cosx=(sqrt(cosx)senx)/cosx+(senx)/cosx=(sqrt(cosx)+1)tanx$

[Lo_zio_Tom]

ESEMPIO 3) $intx^5/(cos^2(x^3))dx $

qui l'unica difficoltà è "vedere" che $x^5$ si può scrivere come: $1/3x^3(3x^2)$ ovvero come $1/3x^3d/dxx^3$

a questo punto partiamo....anche in questo caso cerchiamo di risolvere il tutto senza cambiare formalmente la variabile ma tenendo sempre la variabile originale e modificando il differenziale....perché, come già detto, questa tecnica aiuta ad allenare l'occhio nelle strategie di integrazione.....[e poi fai così perché lo dico io!]

$ intx^5/cos^2(x^3)dx =1/3intx^3/cos^2(x^3)(3x^2dx )=1/3intx^3/cos^2(x^3)dx^3$

$=1/3[x^3tanx^3-inttanx^3dx^3]=1/3x^3tanx^3-1/3int(sinx^3/cosx^3)dx^3=$

$ =x^3/3tanx^3+1/3int(1/cosx^3)dcosx^3=x^3/3tanx^3+1/3log|cosx^3|+C $

...e così in 3 passaggi il nostro integrale è morto e sepolto....


controlliamo la correttezza della soluzione:

$ d/dxf=3x^2/3tanx^3+x^3 3x^2/3(1/cos^2x^3)+1/3(-senx^3 3x^2)/cosx^3 $

$ x^2tanx^3+x^5/cos^2x^3-x^2senx^3/cosx^3 $

$ (x^2senx^3cosx^3+x^5-x^2cosx^3senx^3)/(cos^2x^3)=(x^5)/(cos^2x^3)$

[Lo_zio_Tom]

ESEMPIO 4) $intx^2/((x^2-9)sqrt(x^2-9))dx$

PANICO .....panico del tutto ingiustificato [o quasi]...e vediamo perché...

come già ti ho spiegato nei post precedenti, con radici di questo tipo utilizziamo i teoremi dei triangoli rettangoli per capire quale sostituzione (trigonometrica) sia la più adatta....oppure te le impari a memoria, tanto sono solo 3.
In questo caso sostituiamo $x=3sect$. Al contrario dei casi precedenti qui sì che è opportuno cambiare anche visivamente la variabile, perché l'espressione integranda si compica.....si complica parecchio ma poi si semplificherà tutto....

$x=3sect$ ; $x=3/cost$ ; $dx=3(sent)/(cos^2t)d t$

$int9/(cos^2t(9/cos^2t-9)sqrt(9/cos^2t-9))3(sent)/cos^2tdt=int(27sent)/(cos^2t9(sen^2t)/cos^2t3(sent)/costcos^2t)dt=$

$ =int1/(sen^2tcost)dt=int(sen^2t+cos^2t)/(sen^2tcost)dt=int1/cost dt+intcost/(sen^2t) dt=$

$ =intcost/(1-sen^2t) dt+int1/(sen^2t)dsent=$

$=1/2int1/(1-sent)dsent+1/2int1/(1+sent)dsent+intsen^(-2)tdsent=$

$=1/2log|1+sent|-1/2log|1-sent|-1/(sent)+C=1/2log|(1+sent)/(1-sent)|-1/(sent)+C$

$ x=3 sect $ ; $t=arc sec(x/3) = arc cos(3/x)$

$cosarccos(3/x)=3/x$

$sen^2arc cos(3/x)+9/x^2=1$

$sen(arccos(3/x))=sqrt(1-9/x^2)$= $1/|x|sqrt(x^2-9)$

per cui sostituendo si ottiene:

$ 1/2log|(|x|+sqrt(x^2-9))/(|x|-sqrt(x^2-9))|-|x|/sqrt(x^2-9)+C$


...spero che sia giusta perché non ho voglia di mettermi a farne la derivata

[marione111]

Nel primo dopo aver usato la tecnica per parti mi bloccavo perchè inizialmente avevo capito di dover usare solo quella! grazie per averlo scritto tutto.

Il secondo ok, ce l'avevo fatta dopo il suggerimento di scrivere la tangente come rapporto

Il terzo ancora ok... in effetti era quello che avevo provato a fare a fare ma sbagliavo a scrivere il differenziale... quando l'hai scritto in quel modo ho esclamato aaaaaaah

L'ultimo me lo devo ancora guardare che oggi non ho avuto tempo nemmeno di leggere la tua spiegazione! Comunque volevo chiederti... su che libro hai studiato?

Il mio eserciziario mi sembrava ben fatto... però purtroppo mi sembra che gli esercizi svolti dai quali dovrei capire come risolvere gli esercizi non bastano poi per fare quelli proposti... alla cui soluzione dovrei quindi arrivare affidandomi alla mia creatività

[marione111]

Sul mio "manuale" (se non sbaglio anche su altri testi tipo il Giusti o il Marcellini - Sbordone) anzichè parlare di triangoli rettangoli mi elenca alcuni integrali, chiamiamoli "notevoli" con delle sostituzioni standard (e relativo svolgimento).

Per quelli del tipo $root(2)(x^2 - a^2)$ oppure $1/(root(2)(x^2 - a^2))$ suggerisce la sostituzione $x = acosht$.

Nell'esercizio che ho postato, anche a giudicare dalla "forma" della soluzione dovrebbe andare questa sostituzione suggerita dal mio eserciziario, ma provando non riuscivo. Ora vedendo la tua sostituzione "da manuale" mi viene in mente che probabilmente mi incartavo durante i calcoli. Domani riprovo e ti faccio sapere. Grazie mille per la tua eccellente spiegazione

PS: la soluzione che mi porta è $log(x + root(2)(x^2 - 9)) - x/(root(2)(x^2 - 9)) + c $

[Lo_zio_Tom]

sì anche la sostituzione $ x=acosht $ va benissimo....non pensavo avessi già fatto anche trigonometria iperbolica.
Personalmente preferisco quella che ho usato perché me la ricavo di volta in volta col ragionamento e mi trovo meglio...
Puoi usare quella che preferisci...esistono anche altri approcci per risolvere quell'integrale....

[Lo_zio_Tom]

comunque le due soluzioni coincidono: infatti, prendiamo solo la parte logaritmica che sembra diversa:

razionalizzo l'argomento del logaritmo:

$ (x+sqrt(x^2-9))/(x-sqrt(x^2-9))(x+sqrt(x^2-9))/(x+sqrt(x^2-9))=(x+sqrt(x^2-9))^2/9$

rimettiamo tutto nel logaritmo della mia soluzione ottenendo:

$ log|x+sqrt(x^2-9)|/sqrt(9)=log|x+sqrt(x^2-9)|-logsqrt (9)=log|x+sqrt(x^2-9)|+C$

che è come la tua a meno di una costante additiva....ovvero le soluzioni sono entrambe giuste.

PS: nella soluzione che hai messo tu manca il valore assoluto all'argomento del logaritmo

[Lo_zio_Tom]

un consiglio....non abusare delle sostituzioni trigonometriche iperboliche....parti tranquillo...cerca di capire la dinamica delle soluzioni e poi utilizza ciò che vuoi....


i testi di dicono di risolvere $sqrt(x^2-a^2)$ con la sostituzione iperbolica? ...lo so ma io ti consiglio una classica "soluzione per parti" come si faceva al liceo.....funziona, ragioni, e capisci il perché di ciò che stai facendo....buon lavoro....e se hai bisogno sono qui

[marione111]

Figurati non stavo mettendo avanti la soluzione suggerita dal mio libro, anzi ho scritto qui proprio per avere consigli diversi e il tuo mi è utilissimo... e inoltre mi sembra anche brutto chiedere un consiglio e avere risposta senza "contribuire" alla discussione.

Detto ciò, ho provato di nuovo ad usare la sostituzione $x=3cosht$ ed a un certo punto mi trovo $int (cosh^2 t)/(sinh^2 t) dt$

e qui mi blocco, o meglio provo diverse strade, alcune mi sembrano troppo complicate, altre meno ma non riesco a concludere... allora provo scrivendo il numeratore in funzione del seno iperbolico

$int 1/(sinh^2 t) dt + int (sinh^2 t)/(sinh^2 t) dt = t + int 1/(sinh^2 t)$ ma con l'integrale rimanente poi come procedo?

con le relazioni tra seno e coseno iperbolico non riesco ad uscirmene (il libro del mio prof ne fa spesso uso negli esercizi svolti)

oppre tornando a $int (cosh^2 t)/(sinh^2 t) dt$ potrei riscrivere $sinh t = z ; dz = cosh t dt ; t = settsinh z ; dt = 1/(root(2)(z^2 + 1))$ ma ancora non so continuare