Integrali per riduzione
Buondì a tutti,ho avuto dei problemi con il calcolo di questo integrale. Riesco a calcolare tutti le primitive l'unica cosa che non mi trovo sono i coefficienti davanti alle primitive. Questo è l' integrale:
$ int_()^() 1 / (1+x^2)^(2) dx $
e questo il mio risultato:
$ x / (2(1+x^2)) + arctg(x) + c $
Aspetto una vostra risposta. Grazie
$ int_()^() 1 / (1+x^2)^(2) dx $
e questo il mio risultato:
$ x / (2(1+x^2)) + arctg(x) + c $
Aspetto una vostra risposta. Grazie
Risposte
Mi puoi mostrare il procedimento?!...perchè non sono molto convinto
Hai dimenticato $1/2$ davanti all'arctangente.
Il fatto è che dai miei calcoli un mezzo viene ridotto.
$ x / (1+x^2) + int_()^() (2x^2) / (1+x^2)^2 dx $ --> $ x / (1+x^2) + 2int_()^() (x^2+1-1) / (1+x^2)^2 dx $ --> $ x / (1+x^2) + 2int_()^() (x^2+1) / (1+x^2)^2 dx - 2int_()^() 1 / (1+x^2)^2 dx $ --> $ x / (1+x^2) + 2arctg(x) - 2int_()^() 1 / (1+x^2)^2 dx $ --> Poi si considera l'ultima parte come l'integrale di partenza e quindi dividiamo tutto per due e otteniamo I. --> $ x / (1+x^2) + 2arctg(x) - 2I $ --> $ I = 1/2(x / (1+x^2) + 2arctg(x)) $ e da qui il mio risultato. @melia io ho integrato considerando $ 1 / (1+x^2) $ come fattore finito. Tu come hai fatto?
$ x / (1+x^2) + int_()^() (2x^2) / (1+x^2)^2 dx $ --> $ x / (1+x^2) + 2int_()^() (x^2+1-1) / (1+x^2)^2 dx $ --> $ x / (1+x^2) + 2int_()^() (x^2+1) / (1+x^2)^2 dx - 2int_()^() 1 / (1+x^2)^2 dx $ --> $ x / (1+x^2) + 2arctg(x) - 2int_()^() 1 / (1+x^2)^2 dx $ --> Poi si considera l'ultima parte come l'integrale di partenza e quindi dividiamo tutto per due e otteniamo I. --> $ x / (1+x^2) + 2arctg(x) - 2I $ --> $ I = 1/2(x / (1+x^2) + 2arctg(x)) $ e da qui il mio risultato. @melia io ho integrato considerando $ 1 / (1+x^2) $ come fattore finito. Tu come hai fatto?
Casomai come fattore finito devi considerare [tex]1/((1+x^2)^2)[/tex].....
"alle.fabbri":
Casomai come fattore finito devi considerare [tex]1/((1+x^2)^2)[/tex].....
Prova a risolverlo con [tex]1/((1+x^2)^2)[/tex] come FF e dopo con [tex]1/(1+x^2)[/tex],poi mi fai sapere dove è più semplice...
Non sto dicendo che sia più semplice, sto dicendo che il tuo svolgimento è sbagliato. Il fatto è che per come l'hai scritto c'è qualcosa che non quadra....se il fattore finito è [tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex], allora anche il fattore differenziale è [tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex]. E come fa a spuntarti una [tex]x[/tex] fuori dall'integrale a numeratore visto che lo devi integrare?
Se consideri
[tex]\frac{1}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} \frac{1}{1+x^2}[/tex]
allora diventa
[tex]\frac{1}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} \frac{1}{1+x^2} = \frac{d}{dx} \left( \text{arc tg}(x) \right) \frac{1}{1+x^2} = \frac{d}{dx} \left( \text{arc tg}(x) \frac{1}{1+x^2} \right) - \text{arc tg}(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x^2} \right)[/tex]
quindi
[tex]\int \frac{dx}{(1+x^2)^2} = \text{arc tg}(x) \frac{1}{1+x^2} - \int \text{arc tg}(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x^2} \right) dx[/tex]
che non mi sembra semplifichi la situazione...
Prova così
[tex]\frac{1}{(1+x^2)^2} = - \frac{1}{2x} \frac{-2x}{(1+x^2)^2}[/tex]
usando la prima frazione come fattore finito.
Se consideri
[tex]\frac{1}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} \frac{1}{1+x^2}[/tex]
allora diventa
[tex]\frac{1}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} \frac{1}{1+x^2} = \frac{d}{dx} \left( \text{arc tg}(x) \right) \frac{1}{1+x^2} = \frac{d}{dx} \left( \text{arc tg}(x) \frac{1}{1+x^2} \right) - \text{arc tg}(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x^2} \right)[/tex]
quindi
[tex]\int \frac{dx}{(1+x^2)^2} = \text{arc tg}(x) \frac{1}{1+x^2} - \int \text{arc tg}(x) \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x^2} \right) dx[/tex]
che non mi sembra semplifichi la situazione...
Prova così
[tex]\frac{1}{(1+x^2)^2} = - \frac{1}{2x} \frac{-2x}{(1+x^2)^2}[/tex]
usando la prima frazione come fattore finito.
Ma io considero come fattore differenziale $dx$. Il fatto è che integrando dopo un tot passaggi ritrovi proprio l'integrale che devi calcolare,e quindi da quel momento in poi,lo gestisci come se fosse un equazione. Io nei miei passaggi indico l'integrale di partenza con I.
Sinceramente non ho capito cosa intendi...
Ti faccio vedere quello che ho in mente io. Usando l'integrazione per parti nella forma
[tex]\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx[/tex] (*)
se prendo
[tex]f(x) = - \frac{1}{2x}[/tex] con [tex]f'(x) = \frac{1}{2x^2}[/tex]
[tex]g'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}[/tex] con [tex]g(x) = \frac{1}{1+x^2}[/tex]
allora
[tex]f(x) g'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^2}[/tex]
che è la funzione da integrare. Dunque usando la (*) ho che
[tex]\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = - \frac{1}{2x} \frac{1}{(1+x^2)} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2} \frac{1}{(1+x^2)} dx[/tex]
siccome
[tex]\int \frac{1}{x^2} \frac{1}{(1+x^2)} dx = \int \frac{1}{x^2} dx - \int \frac{1}{(1+x^2)} dx = - \frac{1}{x} - \text{arctg}(x)[/tex]
si ha che
[tex]\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = - \frac{1}{2x} \frac{1}{(1+x^2)} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{2} \text{arctg}(x) dx = \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^2} + \frac{1}{2} \text{arctg}(x)[/tex]
Ma forse te volevi farlo proprio solo con il metodo di ricondurti allo stesso integrale?
Ti faccio vedere quello che ho in mente io. Usando l'integrazione per parti nella forma
[tex]\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx[/tex] (*)
se prendo
[tex]f(x) = - \frac{1}{2x}[/tex] con [tex]f'(x) = \frac{1}{2x^2}[/tex]
[tex]g'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}[/tex] con [tex]g(x) = \frac{1}{1+x^2}[/tex]
allora
[tex]f(x) g'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^2}[/tex]
che è la funzione da integrare. Dunque usando la (*) ho che
[tex]\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = - \frac{1}{2x} \frac{1}{(1+x^2)} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2} \frac{1}{(1+x^2)} dx[/tex]
siccome
[tex]\int \frac{1}{x^2} \frac{1}{(1+x^2)} dx = \int \frac{1}{x^2} dx - \int \frac{1}{(1+x^2)} dx = - \frac{1}{x} - \text{arctg}(x)[/tex]
si ha che
[tex]\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = - \frac{1}{2x} \frac{1}{(1+x^2)} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{2} \text{arctg}(x) dx = \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^2} + \frac{1}{2} \text{arctg}(x)[/tex]
Ma forse te volevi farlo proprio solo con il metodo di ricondurti allo stesso integrale?
"alle.fabbri":
Sinceramente non ho capito cosa intendi...
Ti faccio vedere quello che ho in mente io. Usando l'integrazione per parti nella forma
[tex]\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx[/tex] (*)
se prendo
[tex]f(x) = - \frac{1}{2x}[/tex] con [tex]f'(x) = \frac{1}{2x^2}[/tex]
[tex]g'(x) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}[/tex] con [tex]g(x) = \frac{1}{1+x^2}[/tex]
allora
[tex]f(x) g'(x) = \frac{1}{(1+x^2)^2}[/tex]
che è la funzione da integrare. Dunque usando la (*) ho che
[tex]\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = - \frac{1}{2x} \frac{1}{(1+x^2)} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2} \frac{1}{(1+x^2)} dx[/tex]
siccome
[tex]\int \frac{1}{x^2} \frac{1}{(1+x^2)} dx = \int \frac{1}{x^2} dx - \int \frac{1}{(1+x^2)} dx = - \frac{1}{x} - \text{arctg}(x)[/tex]
si ha che
[tex]\int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = - \frac{1}{2x} \frac{1}{(1+x^2)} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{2} \text{arctg}(x) dx = \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^2} + \frac{1}{2} \text{arctg}(x)[/tex]
Ma forse te volevi farlo proprio solo con il metodo di ricondurti allo stesso integrale?
Non è come volevo farlo io,ma è un ottimo metodo il tuo non ci avevo pensato ero concentrato sul quel procedimento. Potresti darmi qualche lezione xD
Non so, magari si riesce anche con il tuo metodo...ora provo. Lezioni non direi...al massimo qualche suggerimento....
Accetto tutto,anche appunti,per quanto riguardo gli integrali che consigli mi dai? In generale chiaramente.
L'unico consiglio che ti posso dare è di farne tanti tanti tanti...se ti servono dei testi prova qui e qui, queste hanno pure i risultati. Ti segnalo anche il sito www.wolframalpha.com che è in sostanza il software Mathematica online, scrivi la funzione e tra le varie cose che compaiono c'è pure la primitiva con anche il procedimento...che chiaramente non è unico però è già qualcosa...
Grazie
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