Integrali per parti
ciao ragazzi non riesco a capire come applicare per parti quando mi trovo davanti prodotto di 3 o piu funzioni ads esempio
$\int (xln^2(5x))$
oltre a questo caso potete mostrarmi la formula nel caso generale ? grazie
$\int (xln^2(5x))$
oltre a questo caso potete mostrarmi la formula nel caso generale ? grazie
Risposte
Attento, in questo esempio non ci sono tre fattori, ma due: $x$ e $ln^2(5x)$. $ln^2(5x)$ è una funzione composta, e quindi come tale va trattata; l'integrale si risolve quindi con la classica integrazione per parti.
PS: pura pignoleria, ma manca il $dx$
PS: pura pignoleria, ma manca il $dx$
Propongo la sostituzione $ln(5x)=t$ e poi è abbastanza semplice la risoluzione (per parti).
La formula generale dell'integrazione per parti:
$ int f'g dx = fg - int fg'dx $
in questo caso puoi usarla una prima volta con $ f'=x $ et $ g=ln^2(5x) $ e poi una seconda sull'integrale:
$ intxln(5x)dx $ con $ f=x $ et $ ln(5x)=g' $ ricordando che:
$ intlnxdx=xlnx-x $
$ int f'g dx = fg - int fg'dx $
in questo caso puoi usarla una prima volta con $ f'=x $ et $ g=ln^2(5x) $ e poi una seconda sull'integrale:
$ intxln(5x)dx $ con $ f=x $ et $ ln(5x)=g' $ ricordando che:
$ intlnxdx=xlnx-x $
Ostrogoto, a dire il vero credo che alessandrof10 conosca questa formula e chieda invece un'eventuale formula analoga nel caso di moltiplicazione tra 3 fattori (funzioni). In ogni caso, se hai:
$int a(x)b(x)c(x) dx$
puoi vederla come una "classica" integrazione per parti ponendo, per esempio, $f'(x)=a(x)$ e $g(x)=b(x)c(x)$, ma potresti benissimo scegliere $f'(x)=a(x)b(x)$ e $g(x)=c(x)$. Quale sia la scelta più conveniente dipende insomma di volta in volta dalle funzioni coinvolte, quindi non c'è una regola generale, come appunto non c'è una regola generale che ti indichi quale delle due funzioni scegliere come $f'(x)$ e $g(x)$ in un integrazione per parti "classica" (ossia con 2 soli fattori). Si tratta di farci l'occhio. Per esempio, nello stesso integrale da te proposto, che pure ha solo 2 fattori, l'integrazione per parti è abbastanza fattibile anche senza alcuna manipolazione (vedi il ragionamento di ostrogoto), però, come giustamente suggerito da vinci84, la sostituzione $t=ln(5x)$ te lo semplifica notevolmente.
$int a(x)b(x)c(x) dx$
puoi vederla come una "classica" integrazione per parti ponendo, per esempio, $f'(x)=a(x)$ e $g(x)=b(x)c(x)$, ma potresti benissimo scegliere $f'(x)=a(x)b(x)$ e $g(x)=c(x)$. Quale sia la scelta più conveniente dipende insomma di volta in volta dalle funzioni coinvolte, quindi non c'è una regola generale, come appunto non c'è una regola generale che ti indichi quale delle due funzioni scegliere come $f'(x)$ e $g(x)$ in un integrazione per parti "classica" (ossia con 2 soli fattori). Si tratta di farci l'occhio. Per esempio, nello stesso integrale da te proposto, che pure ha solo 2 fattori, l'integrazione per parti è abbastanza fattibile anche senza alcuna manipolazione (vedi il ragionamento di ostrogoto), però, come giustamente suggerito da vinci84, la sostituzione $t=ln(5x)$ te lo semplifica notevolmente.
sisi infatti ho capito pero a differenza delle derivate che si riescono a fare facilmente perche ci sono regole ben precise sia per il prodotto per la divisione ecc.. invece per gli integrali non è cosi semplice ad esempio mi sono imbattuto in un integrale simile
$\int 1/(tan^3(x)cos^2(x)) dx $ applicando la trigonometria me lo sono riscritto
$\int cos(x)/(sen^3(x)) dx $
poi applicando per parti mi esce: $1/(sen^2(x))-3\int cos/(sen^3(x)) $poi aggiustandolo mi esce $1/(4sen^2(x))$ invece
deve uscire $-1/(2tan^2(x))$ non so dove ho sbagliato
$\int 1/(tan^3(x)cos^2(x)) dx $ applicando la trigonometria me lo sono riscritto
$\int cos(x)/(sen^3(x)) dx $
poi applicando per parti mi esce: $1/(sen^2(x))-3\int cos/(sen^3(x)) $poi aggiustandolo mi esce $1/(4sen^2(x))$ invece
deve uscire $-1/(2tan^2(x))$ non so dove ho sbagliato
Nota che:
$ d/dxtgx=1/(cos^2x) $
da cui
$ int1/(tg^3xcos^2x)dx = int 1/(tg^3x)d(tgx) $
e quindi il risultato
$ d/dxtgx=1/(cos^2x) $
da cui
$ int1/(tg^3xcos^2x)dx = int 1/(tg^3x)d(tgx) $
e quindi il risultato
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