Integrali multipli in coordinate polari
ciao a tutti,
stavo leggendo un libro che ho in casa di analisi 2 di mio fratello di quando era studente e mi trovo con una domanda riguardo gli integrali multipli, nel libro dice che il metodo risolutivo chiede vi sia un A $A={(x,y)|a<=x<=b, \alpha(x)<=y<=\beta(x)}$ con $\alpha(x)<\beta(x)$ funzioni continue su [a,b] con A di conseguenza compatto e misurabile.
Il problema è che nel cambio di variabili, ad esempio a polari, in un esercizio usa un dominio di integrazione del genere: $A'={(\rho,\theta)|1<=\rho<=2, \theta\in[0,2\Pi)}$ ma l'intervallo [0,2\Pi) è un insieme che non si presenta chiuso, dunque non vi è la richiesta di compattezza soddisfatta. Il fatto che se includessi [0,2\Pi] non avrei biiettività della funzione cambio variabili. Ordunque: come fa poi a integrale se non rispetta la condizione di cui parlavo sopra (compattezza)?
Scusate la domanda sciocca e le castronerie che vado dicendo, ma al momento studio biologia e al liceo ero un cane in matematica. Il fatto che soffro di grande curiosità
stavo leggendo un libro che ho in casa di analisi 2 di mio fratello di quando era studente e mi trovo con una domanda riguardo gli integrali multipli, nel libro dice che il metodo risolutivo chiede vi sia un A $A={(x,y)|a<=x<=b, \alpha(x)<=y<=\beta(x)}$ con $\alpha(x)<\beta(x)$ funzioni continue su [a,b] con A di conseguenza compatto e misurabile.
Il problema è che nel cambio di variabili, ad esempio a polari, in un esercizio usa un dominio di integrazione del genere: $A'={(\rho,\theta)|1<=\rho<=2, \theta\in[0,2\Pi)}$ ma l'intervallo [0,2\Pi) è un insieme che non si presenta chiuso, dunque non vi è la richiesta di compattezza soddisfatta. Il fatto che se includessi [0,2\Pi] non avrei biiettività della funzione cambio variabili. Ordunque: come fa poi a integrale se non rispetta la condizione di cui parlavo sopra (compattezza)?
Scusate la domanda sciocca e le castronerie che vado dicendo, ma al momento studio biologia e al liceo ero un cane in matematica. Il fatto che soffro di grande curiosità
Risposte
Ciao sampitter1,
non sono un matematico, quindi ti darò una risposta un po' alla buona, anche se magari potrebbe far storcere il naso a qualcuno.
Sono abbastanza sicuro che più che al concetto di compatezza dell'insieme di integrazione, si faccia la richiesta che esso sia misurabile. In particolare il cambio di variabili può essere biunivoco a meno di un insieme di misura nulla. In tal caso, ammesso che lo Jacobiano della trasformazione non si annulli e che l'insieme di partenza sia misurabile, hai che anche l'insieme di arrivo dovrà essere misurabile, e che la formula di cambiamento di variabili continua a valere.
Nel caso delle coordinate polari, l'insieme di misura nulla è il punto $2\pi$, dell'intervallo $[0,2\pi)$, a meno del quale il cambio di variabili è una funzione biunivoca.
Spero di esserti stato utile e di non aver detto scemenze (nel qual caso sono sicuro che arriverà qualcuno di più competente a correggermi )
non sono un matematico, quindi ti darò una risposta un po' alla buona, anche se magari potrebbe far storcere il naso a qualcuno.
Sono abbastanza sicuro che più che al concetto di compatezza dell'insieme di integrazione, si faccia la richiesta che esso sia misurabile. In particolare il cambio di variabili può essere biunivoco a meno di un insieme di misura nulla. In tal caso, ammesso che lo Jacobiano della trasformazione non si annulli e che l'insieme di partenza sia misurabile, hai che anche l'insieme di arrivo dovrà essere misurabile, e che la formula di cambiamento di variabili continua a valere.
Nel caso delle coordinate polari, l'insieme di misura nulla è il punto $2\pi$, dell'intervallo $[0,2\pi)$, a meno del quale il cambio di variabili è una funzione biunivoca.
Spero di esserti stato utile e di non aver detto scemenze (nel qual caso sono sicuro che arriverà qualcuno di più competente a correggermi
)
@singularity: è corretto, il punto è proprio che gli insiemi eccezionali, come l'origine nel caso delle coordinate polari, hanno misura nulla, quindi ai fini dell'integrazione possono essere ignorati.
Grazie a tutti:)
Mi resta il dubbio sul perché nella parte teorica affermi "funzioni continue su [a,b] con A di conseguenza compatto e misurabile" e non "funzioni continue su [a,b] o (a,b)", non sarebbe stato più preciso?
Vorrei capire cosa mi sfugge
Grazie ancora
Mi resta il dubbio sul perché nella parte teorica affermi "funzioni continue su [a,b] con A di conseguenza compatto e misurabile" e non "funzioni continue su [a,b] o (a,b)", non sarebbe stato più preciso?
Vorrei capire cosa mi sfugge
Grazie ancora
Ma è uguale, non ti preoccupare, non cambia quasi niente.
Grazie :=)
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