Integrali multipli e coordinate ellittiche

[vl4dster]

c'e' qualcosa che mi sfugge. supponiamo di dover integrare una certa $f(x,y)$ in un dominio circolare. Se passo in polari $x= \rho cos(\theta)$, $y=\rho sin(\theta)$ so che $\rho$ sara' compreso tra zero e il raggio della circonferenza, perche' rappresenta proprio il modulo del vettorino che dall'origine porta in $(x,y)$.
Se il dominio e' un'ellisse centrata nell'origine di semiassi $a$ e $b$, potrei passare in coordinate ellittiche $x= a\rho cos(\theta)$, $y=b\rho sin(\theta)$...
in questo caso $\a\rho$ e $\b\rho$ sono i semiassi.
Dunque e' corretto far variare $\rho$ tra zero e uno? (Mi interessa la parte di piano "interna" all'ellisse)

[Fioravante Patrone1]

"vl4d":c'e' qualcosa che mi sfugge. supponiamo di dover integrare una certa $f(x,y)$ in un dominio circolare. Se passo in polari $x= \rho cos(\theta)$, $y=\rho sin(\theta)$ so che $\rho$ sara' compreso tra zero e il raggio della circonferenza, perche' rappresenta proprio il modulo del vettorino che dall'origine porta in $(x,y)$.
Se il dominio e' un'ellisse centrata nell'origine di semiassi $a$ e $b$, potrei passare in coordinate ellittiche $x= a\rho cos(\theta)$, $y=b\rho sin(\theta)$...
in questo caso $\a\rho$ e $\b\rho$ sono i semiassi.
Dunque e' corretto far variare $\rho$ tra zero e uno? (Mi interessa la parte di piano "interna" all'ellisse)

tranqui, vl4d!

se $x= a\rho cos(\theta)$, $y=b\rho sin(\theta)$

allora:
$(x/a)^2 + (y/b)^2 = (\rho)^2 cos^2(\theta) + (\rho)^2 sin^2(\theta) = (\rho)^2$

che è minore o uguale di uno se e solo se $\rho$ è minore o uguale di 1 (ovviamente $\rho$ soddisfa la solita condizione di essere maggiore o uguale a zero)

[vl4dster]

non ho capito se questo convalida quello che ho detto o se lo distrugge
soddisfa _solo_ la solita condizione di essere maggiore o uguale a zero o soddisfa _anche_ [...]

[Fioravante Patrone1]

tranzollo!

mi spiace se ti ho instillato dubbi
ma, abbi pazienza, mettiti nei miei panni
se dicessi che $\rho^2 \le 1$ equivale a dire $\rho \le 1$ non ci farei una bella figura...

ragione per cui ho aggiunto la precisazione che $\rho$ (in quanto "raggio" delle coordinate polari) è sempre (ovviissimamente) maggiore o uguale a zero. Tutto qui

E' lo stesso identico discorso per cui $x^2 + y^2 \le R^2$ è equivalente a $\rho \le R$ con le solite coordinate polari
ciao

[vl4dster]

ma oggi hai mangiato simpatia eh?
cmq grazie per la velocissima (come sempre) delucidazione