Integrali multipli

[Lebesgue]

Ho problemi con lo studio della convergenza dei seguenti integrali:
(i)$\int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy$
(ii)$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy$
dove $Q=[1,+\infty)\times[1,+\infty)$.

Il primo integrale direi che diverge, in quanto andando in polari ottengo:
$\int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy=\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta$
con $P={\rho\ge1, \ \theta\in[0,\pi/2]}$, tuttavia non riesco a trovare un modo per maggiorare questo integrale e far vedere che diverge; ho pensato di fare così:
Fisso $00$.
Quindi mi piacerebbe dire che $\int_1^{+\infty} |sin(\rho^2)|/\rho \ d\rho$ diverge, ma non so come dimostrarlo.

Il secondo integrale invece direi che converge, poichè sempre andando in polari si ha che:
$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy=\int_P 1/[\rho^3(\cos^2\theta\sin\theta+\cos\theta\sin^2\theta)] \cdot \rho \ d\rhod\theta$,
ho però sempre problemi con quei seni e coseni al denominatore.
Grazie a chi mi aiuterà.

[Lebesgue]

Possibile risoluzione di (i)
Abbiamo detto che vale:
$\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge int_1^{+\infty} \ d\rho\int_a^b \ d\theta |\sin(\rho^2)|/\rho$.
Tuttavia si ha che $\sin(\rho^2)\ge-\rho^2 \ \forall\rho>0$, quindi $\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge\int_1^{+\infty} \ d\rho\int_a^b \ d\theta |-\rho^2|/\rho$ e quest'ultimo diverge.

Possibile risoluzione di (ii)
Notiamo che, posto $f(x,y)=1/(x^2y+xy^2)$ si ha che $f(x,y)=f(y,x)$ ed inoltre l'insieme Q è invariante per la trasformazione $(x,y)\mapsto(y,x)$ dunque vale che:
$\int_Q f(x,y) \ dxdy=2\int_T f(x,y) \ dxdy$ con $T={x\ge1 \ , \ y\gex}$
Ora in T si ha che: $f(x,y)\le 1/(x^3+xy^2)=1/x \cdot 1/(x^2+y^2)$
Quindi $\int_T 1/x \cdot 1/(x^2+y^2) \ dxdy=\int_1^{+\infty} 1/x \ dx\int_x^{+\infty} 1/(x^2+y^2) \ dy$;
tuttavia $\int_x^{+\infty} 1/(x^2+y^2) \ dy=[1/x \arctan(y/x)]_{y=x}^{y=+\infty}=-\pi/{4x}$ e
$\int_1^{+\infty}-1/x \cdot \pi/{4x} \ dx$ converge

[Quinzio]

"Lebesgue":
Quindi mi piacerebbe dire che $\int_1^{+\infty} |sin(\rho^2)|/\rho \ d\rho$ diverge, ma non so come dimostrarlo.

Intanto facciamo un cambio di variabile che rendera' il seguito piu' comprensibile. Non e' indispensabile, comunque.
Poniamo dunque $\sqrt x = \rho$, da cui $1/(2 \sqrt x) dx = d\rho$.
Il nostro integrale appare gia' piu' trattabile:

$1/2 \int_1^{+\infty} |sin(x)|/x \ dx$

Ora, se per un momento prendiamo l'integrale definito tra due estremi, ad esempio $a$ e $b$, notiamo che:

$\int_a^b |sin(x)|/x \ dx > \int_a^b |sin(x)|/b \ dx = 1/b \int_a^b |sin(x)| \ dx$.

Con $k \in \NN$, la scelta piu' conveniente e' di prendere gli estremi come multipli di $\pi$, e scriviamo

$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |sin(x)| \ dx = 2$

La parte finale consiste nel riscrivere l'integrale improprio come somma di tanti piccoli integrali definiti:

$\int_{k_0 \pi}^{+\infty} |sin(x)|/x \ dx = \sum_{k=k_0}^{+infty} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |sin(x)| / x \dx$

E allora:

$\int_1^{+\infty} |sin(\rho^2)|/\rho \ d\rho = \int_{k_0 \pi}^{+\infty} |sin(x)|/x \ dx = \sum_{k=k_0}^{+infty} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |sin(x)| / x \dx
> 1/\pi \sum_{k=k_0}^{+infty} 1/{k+1} = +infty
$

[Quinzio]

"Lebesgue":
Il secondo integrale invece direi che converge, poichè sempre andando in polari si ha che:
$\int_Q 1/(x^2y+xy^2) \ dxdy=\int_P 1/[\rho^3(\cos^2\theta\sin\theta+\cos\theta\sin^2\theta)] \cdot \rho \ d\rhod\theta$,
ho però sempre problemi con quei seni e coseni al denominatore.

Quindi perche' non tentare la fortuna con le coordinate cartesiane ?

$\int_1^{+infty}\int_1^{+infty} 1/(x^2y+xy^2) \ dx\ dy$

$ = \int_1^{+infty}\int_1^{+infty} 1/x^2 (1/y - 1/(x+y)) \ dy\ dx$

$ = \int_1^{+infty} 1/x^2 \int_1^{+infty} (1/y - 1/(x+y)) \ dy\ dx$

Prima risolviamo l'integrale in $y$:

$\int_1^{+infty} (1/y - 1/(x+y)) \ dy = lim_{a-> +infty } \int_1^a (1/y - 1/(x+y)) \ dy = ... = ln(1+x)$

Allora rimane da risolvere solamente:

$\int_1^{+infty} ln(1+x) / x^2 \ dx$

che converge e che lascio a te da finire.

[pilloeffe]

Ciao Lebesgue,

In merito al secondo integrale, aggiungo a quanto correttamente scritto da Quinzio che non è neanche insormontabile scoprire a cosa converge, dato che si ha:

\begin{equation*}
\boxed{\int_1^{+\infty}\frac{\ln(1 + x)}{x^2}dx = \ln(4)}
\end{equation*}

Potresti provare a dimostrarlo (suggerimento: integrazione per parti... )

[dissonance]

"Quinzio":
Ora, se per un momento prendiamo l'integrale definito tra due estremi, ad esempio $a$ e $b$

[...]

La parte finale consiste nel riscrivere l'integrale indefinito come somma di tanti piccoli integrali definiti:

Vuoi dire: riscrivere l'integrale improprio come somma di tanti piccoli integrali definiti. Integrale indefinito, di solito, è l'insieme delle primitive.

[Quinzio]

"dissonance":
Vuoi dire: .....

Ok, corretto.

[Bremen000]

Ciao,

"Lebesgue": [...]
$ Q=[1,+\infty)\times[1,+\infty) $.

Il primo integrale direi che diverge, in quanto andando in polari ottengo:
$ \int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy=\int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta $
con $ P={\rho\ge1, \ \theta\in[0,\pi/2]} $ [...]

che non è un uguaglianza perché $Q \ne P$. Pero puoi scrivere una disuguaglianza del tipo

$ \int_Q |\sin(xy)|/(x^2+y^2) \ dxdy \ge\int_D |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta = \int_D |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho \ d\rho d\theta$

dove \( D= \Bigl \{ (\rho, \theta) : \rho \in [2, + \infty) , \theta \in ( \pi/6, \pi/3) \Bigr \} \)

e inoltre vale $ \cos\theta\sin\theta$ è inferiormente limitata da $m:=\sqrt(3)/4$ in $( \pi/6, \pi/3) $.

Quello che però poi non mi è chiaro è

"Lebesgue":
$ \int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge\int_1^{+\infty} d\rho \int_a^b d\theta \ |\sin(m\rho^2)|/\rho $

Infatti sebbene sia $\rho^2 \cos\theta\sin\theta \ge m\rho^2$ non è vero che $|\sin(\rho^2 \cos\theta\sin\theta)| \ge |\sin(m\rho^2)| $ per ogni $\theta \in ( \pi/6, \pi/3) $ e per ogni $\rho \in [2, + \infty)$.

E quindi non mi viene in mente come si potrebbe continuare...
Ma magari non ho capito qualcosa!

[Lebesgue]

"Bremen000":

Quello che però poi non mi è chiaro è

[quote="Lebesgue"]
$ \int_P |sin(\rho^2\cos\theta\sin\theta)|/\rho^2 \cdot \rho \ d\rho d\theta\ge\int_1^{+\infty} d\rho \int_a^b d\theta \ |\sin(m\rho^2)|/\rho $

Infatti sebbene sia $\rho^2 \cos\theta\sin\theta \ge m\rho^2$ non è vero che $|\sin(\rho^2 \cos\theta\sin\theta)| \ge |\sin(m\rho^2)| $ per ogni $\theta \in ( \pi/6, \pi/3) $ e per ogni $\rho \in [2, + \infty)$.

E quindi non mi viene in mente come si potrebbe continuare...
Ma magari non ho capito qualcosa![/quote]

Direi che basta scegliere $0

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[Bremen000]

Cioè?

[Bremen000]

Propongo una soluzione che mi è venuta in mente e qualche commento, se poi questo sarà utile non lo giudico io.

Vogliamo dimostrare che l'integrale

\[ \int_Q \frac{|\sin(xy)|}{x^2+y^2} dxdy \quad \quad Q= [1, +\infty) \times [1, +\infty) \]

diverge.

Passiamo in coordinate polari come suggerito dalla forma del denominatore operando una minorazione dell'integrale

\[ \int_Q \frac{|\sin(xy)|}{x^2+y^2} dxdy \ge \int_D \frac{|sin(\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta))|}{\rho} d\rho d \theta \quad \quad D= \{ (\rho, \theta) \in [2, +\infty), [\pi/6, \pi/3] \} \]

Poiché l'integranda è positiva in $D$ si può usare Fubini (non mi ricordo ad Analisi 2 quale è la giustificazione che si da ma qua il dominio è bello quindi credo che ci siano argomenti meno potenti di Fubini che funzionano) e ottenere che

\[ \int_Q \frac{|\sin(xy)|}{x^2+y^2} dxdy \ge \int_{\pi/6}^{\pi/3} \Biggl ( \int_2^{+\infty} \frac{|sin(\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta))|}{\rho} d\rho \Biggr ) d \theta \]

Lavoriamo sull'integrale in $d\rho$ operando il cambio di variabili

\[ \begin{cases} r = \rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta) \\ \rho = \sqrt{\frac{r}{ \cos(\theta) \sin(\theta)}} \\ d\rho = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{r \cos(\theta) \sin(\theta)}} \end{cases} \]

Si noti che è tutto ben posto essendo \( \frac{\sqrt{3}}{4} \le \cos(\theta) \sin(\theta) \le 1 \) per ogni \( \theta \in [\pi/6, \pi/3] \).

Da cui otteniamo

\[ \int_2^{+\infty} \frac{|sin(\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta))|}{\rho} d\rho = \int_{4 \cos(\theta) \sin(\theta)}^{+\infty} \frac{ |\sin(r)|}{\sqrt{\frac{r}{ \cos(\theta) \sin(\theta)}}} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{r \cos(\theta) \sin(\theta)}} dr = \frac{1}{2} \int_{4 \cos(\theta) \sin(\theta)}^{+\infty} \frac{|sin(r)|}{r} dr \ge \frac{1}{2} \int_{4}^{+\infty} \frac{|sin(r)|}{r} dr \]

Quindi in definitiva

\[ \int_Q \frac{|\sin(xy)|}{x^2+y^2} dxdy \ge \frac{1}{2} \int_{\pi/6}^{\pi/3} \Biggl ( \int_{4}^{+\infty} \frac{|sin(r)|}{r} dr \Biggr ) d \theta = + \infty \]

poiché, come è noto e come ha fatto vedere Quinzio, che l'integrale in $dr$ diverge.

Fatto sto pippozzo, volevo far vedere come il procedimento tentato inizialmente, ovvero di minorare la quantità \( |sin(\rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta))| \) in un opportuno sottoinsieme di $Q$, conduce ad un esito fallimentare.

L'idea iniziale è quella prima di minorare la quantità \( \cos(\theta) \sin(\theta) \) (e questo si fa senza problemi perché tale funzione è limitata e positiva in ogni intervallo \( (a,b) \) con \( 0 < a
Ora, $|sin(t)|$ è crescente quando \( 2k\pi \le t \le 2k\pi+\pi/2 \quad k \in \mathbb{N} \) e quindi vogliamo trovare $P$ sia soddisfatta

\[ 2k\pi \le \rho^2 \cos(\theta) \sin(\theta) \le 2k\pi+\pi/2 \quad \forall k \in \mathbb{N} \quad \forall \, (\rho, \theta) \in P \times (a,b) \quad \quad (\ast) \]

Sia $m$ il minimo di \( \cos(\theta) \sin(\theta) \) in \( (a,b) \).

Allora sicuramente \( (\ast) \) è soddisfatta se $P$ è tale che

\[ \frac{2k\pi}{m} \le \rho^2 \le 2k\pi+\pi/2\quad \forall k \in \mathbb{N} \quad \forall \rho \in P \]

Però deve necessariamente valere

\[ \frac{2k\pi}{m} \le 2k\pi+\pi/2\quad \forall k \in \mathbb{N} \quad \quad (\ast \ast) \]

Se no $P$ sarebbe un insieme limitato e si arriverebbe ad una minorazione inutile.

Purtroppo \( (\ast \ast) \) implica che $m=1$ il che non è realizzabile.

Spero di non aver scritto scempiaggini.