Integrali multipli
Ciao a tutti! Vorrei chiedervi se la risoluzione dell'integrale: 
è $+infty$ in quanto:
Inoltre come si svolge l'integrale:
Cioè sostanzialmente come si svolge la misura di Lebesgue nella pratica per un determinato insieme?
Grazie per l'aiuto.
è $+infty$ in quanto:
Inoltre come si svolge l'integrale:
Cioè sostanzialmente come si svolge la misura di Lebesgue nella pratica per un determinato insieme?
Grazie per l'aiuto.
Risposte
La disequazione $1/x_1^4<1$ ha come soluzioni $x_1<-1$ o $x_1>1$ per cui l'integrale si spezza in
$$\int_{-\infty}^{-1}\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\frac{1}{x_1^4}\ dx_2\ dx_1+\int_{-1}^1\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\ dx_2\ dx_1+\int_1^{+\infty}\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\frac{1}{x_1^4}\ dx_2\ dx_1$$
$$\int_{-\infty}^{-1}\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\frac{1}{x_1^4}\ dx_2\ dx_1+\int_{-1}^1\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\ dx_2\ dx_1+\int_1^{+\infty}\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\frac{1}{x_1^4}\ dx_2\ dx_1$$
Mentre la disequazione $\frac{1}{x_1^4}>1$ ha come soluzioni $x_1 > -1$ e $x_1<1$ ?
Che si scrive più correttamente $-1< x_1<1$
Si esatto. Comunque la soluzione finale rimane $+infty$ in quanto il terzo integrale doppio che hai scritto fa appunto $+infty$, giusto? Poi come si fa quello che chiede di calcolare $L_3(A)$?
No, l'integrale è finito. Infatti
$$\int_{-\infty}^{-1}\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\frac{1}{x_1^4}\ dx_2\ dx_1=\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{x_1^4}\left[x_1\right]_{x_1^2}^{3x_1^2}\ dx_1=\int_{-\infty}^{-1}\frac{3x_1^2-x_1^2}{x_1^4}\ dx_1=\int_{-\infty}^{-1}\frac{2}{x_1^2}\ dx_1=\left[-\frac{2}{x_1}\right]_{-\infty}^{-1}=2$$
Per questioni di simmetria, anche l'integrale su $[1,+\infty)$ vale 2. Inoltre
$$\int_{-1}^1\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\ dx_2\ dx_1=\int_{-1}^1 2x_1^2\ dx_1=\left[\frac{2x_1^3}{3}\right]_{-1}^1=\frac{4}{3}$$
L'integrale pertanto vale ${16}/3$.
Per l'altro, io userei Un cambiamento di coordinate cilindriche
$$x_1=\rho\cos\theta,\ x_2=\rho\sin\theta,\ x_3=z$$
osservando che le limitazioni si riducono a
$$\rho^2+z^2\le 9,\ \rho^2\le 1,\ z\ge 0$$
e quindi, tenuto conto che $\rho\ge 0$ per definizione
$$0\le\rho\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le z\le\sqrt{9-\rho^2}$$
L'unica cosa che non capisco è:cosa indichi con $L_3(A)$?
$$\int_{-\infty}^{-1}\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\frac{1}{x_1^4}\ dx_2\ dx_1=\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{x_1^4}\left[x_1\right]_{x_1^2}^{3x_1^2}\ dx_1=\int_{-\infty}^{-1}\frac{3x_1^2-x_1^2}{x_1^4}\ dx_1=\int_{-\infty}^{-1}\frac{2}{x_1^2}\ dx_1=\left[-\frac{2}{x_1}\right]_{-\infty}^{-1}=2$$
Per questioni di simmetria, anche l'integrale su $[1,+\infty)$ vale 2. Inoltre
$$\int_{-1}^1\int_{x_1^2}^{3x_1^2}\ dx_2\ dx_1=\int_{-1}^1 2x_1^2\ dx_1=\left[\frac{2x_1^3}{3}\right]_{-1}^1=\frac{4}{3}$$
L'integrale pertanto vale ${16}/3$.
Per l'altro, io userei Un cambiamento di coordinate cilindriche
$$x_1=\rho\cos\theta,\ x_2=\rho\sin\theta,\ x_3=z$$
osservando che le limitazioni si riducono a
$$\rho^2+z^2\le 9,\ \rho^2\le 1,\ z\ge 0$$
e quindi, tenuto conto che $\rho\ge 0$ per definizione
$$0\le\rho\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le z\le\sqrt{9-\rho^2}$$
L'unica cosa che non capisco è:cosa indichi con $L_3(A)$?
Si è vero, ho risvolto proprio poco fa per verificare e mi è venuto $\frac{16}{3}$.
Allora per ogni $E \subseteq \mathbb{R^n}$con $L_n^°(E)$ indica la misura esterna di E. Con $L_n(E)$ indica la restrizione della funzione misura esterna $L_n^°$ ad $M_n$ ovvero la classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue in $\mathbb{R^n}$. In sostanza indica $L_n$ la misura di Lebesgue.
Allora per ogni $E \subseteq \mathbb{R^n}$con $L_n^°(E)$ indica la misura esterna di E. Con $L_n(E)$ indica la restrizione della funzione misura esterna $L_n^°$ ad $M_n$ ovvero la classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue in $\mathbb{R^n}$. In sostanza indica $L_n$ la misura di Lebesgue.
Ah, ok, quindi sarebbe il volume di $A$. Pertanto devi calcolare
$$\int_A dx_1\ dx_2\ dx_3$$
che con il cambiamento di variabile scritto diviene
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{\sqrt{9-\rho^2}} \rho\ dz\ d\rho\ d\theta$$
(la presenza di $\rho$ è dovuta allo Jacobiano della trasformazione).
$$\int_A dx_1\ dx_2\ dx_3$$
che con il cambiamento di variabile scritto diviene
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{\sqrt{9-\rho^2}} \rho\ dz\ d\rho\ d\theta$$
(la presenza di $\rho$ è dovuta allo Jacobiano della trasformazione).
Ah ecco! Bene allora è tranquillo! Grazie!
Un suggerimento per risolvere $\int_0^1 \rho * sqrt{9-\rho^2} d\rho$ ?
Poni $9-\rho^2=t$
Giusto, grazie. Ieri ero arrivato al limite dell'elasticità che serve in matematica
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