Integrali iterati
Qualcuno potrebbe farmi vedere alcuni esempi di integrali iterati??
Io ho questo, solamente che non riesco a capire come faccio a cambiare
$\int_sqrt(x)^1
con
$\int_0^{y^2}
l'esercizio e' questo :
$\int_0^1(\int_sqrt(x)^1 e^{y^3} dy) dx = \int_0^1(\int_0^{y^2} e^{y^3} dx) dy = 1/3(e-1)
potreste spiegarmi perche' cambiano in questo modo e se qualcuno avesse degli esercizi gia' svolti di questo tipo con tutti i passaggi, potrebbe metterli ??...grazie a tutti
Io ho questo, solamente che non riesco a capire come faccio a cambiare
$\int_sqrt(x)^1
con
$\int_0^{y^2}
l'esercizio e' questo :
$\int_0^1(\int_sqrt(x)^1 e^{y^3} dy) dx = \int_0^1(\int_0^{y^2} e^{y^3} dx) dy = 1/3(e-1)
potreste spiegarmi perche' cambiano in questo modo e se qualcuno avesse degli esercizi gia' svolti di questo tipo con tutti i passaggi, potrebbe metterli ??...grazie a tutti
Risposte
Hai fatto bene a postare un esempio concreto. Io ti suggerirei di pensare al primo integrale come ad un integrale doppio. Infatti $int_0^1int_(sqrt(x))^1e^(y^3)"d"y"d"x=intint_De^(y^3)"d"x"d"y$, dove $D$ è la regione del piano definita dalle condizioni $0<=x<=1, sqrt(x)<=y<=1$. Giusto? Se applichi la formula di riduzione a questo integrale doppio, ottieni proprio l'integrale di partenza.
Disegnamo la regione $D$ per maggiore chiarezza:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes();
plot("sqrt(x)"); line([0,1], [1,1]);line([0,1], [0,0]);
text([0.3, 0.8],"D");[/asvg]
si tratta di quella specie di "triangolo" avente per base quel pezzo di curva (spero si capisca dal disegno, non so come colorarla).
Questa stessa regione si può esprimere anche mediante le condizioni: $0<=y<=1, 0<=x<=y^2$. E di conseguenza si può applicare la formula di riduzione anche con queste condizioni, ottenendo il risultato voluto.
[edit] qualche aggiustamento nel disegno.
Disegnamo la regione $D$ per maggiore chiarezza:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes();
plot("sqrt(x)"); line([0,1], [1,1]);line([0,1], [0,0]);
text([0.3, 0.8],"D");[/asvg]
si tratta di quella specie di "triangolo" avente per base quel pezzo di curva (spero si capisca dal disegno, non so come colorarla).
Questa stessa regione si può esprimere anche mediante le condizioni: $0<=y<=1, 0<=x<=y^2$. E di conseguenza si può applicare la formula di riduzione anche con queste condizioni, ottenendo il risultato voluto.
[edit] qualche aggiustamento nel disegno.
ok, ho capito...praticamente disegno la regione D e inverto la x con la y...si puo' dire che inverto l'intervallo di integrazione da x a y?
Perche' ho l'orale di analisi 2 domani mattina e ho una domanda che mi chiede come faccio a invertire l'intervallo di integrazione da xsemplice a ysemplice, avendo un integrale doppio definito, posso dire che e' la stessa cosa?? grazie ancora
Perche' ho l'orale di analisi 2 domani mattina e ho una domanda che mi chiede come faccio a invertire l'intervallo di integrazione da xsemplice a ysemplice, avendo un integrale doppio definito, posso dire che e' la stessa cosa?? grazie ancora
Si, da un punto di vista teorico l'operazione che fai è questa:
se hai $intint_Df(x,y)"d"x"d"y$, e $D={(x, y)\inRR^2\ |\ a<=x<=b, alpha(x)<=y<=beta(x)}$ (dominio normale rispetto ad $x$, vedo che tu lo chiami x-semplice), a volte si possono riscrivere le condizioni $a<=x<=b, alpha(x)<=y<=beta(x)$ in modo tale che $D$ sia anche un dominio y-semplice.
Formalmente, può essere che esistano due funzioni (continue, almeno a tratti) $alpha', beta'$ tali che $D={(x, y)\inRR^2\ |\ alpha'(y)<=x<=beta'(x), c<=y<=d}$. Quindi possiamo applicare la formula di riduzione degli integrali doppi indifferentemente alla prima descrizione di $D$ o alla seconda.
se hai $intint_Df(x,y)"d"x"d"y$, e $D={(x, y)\inRR^2\ |\ a<=x<=b, alpha(x)<=y<=beta(x)}$ (dominio normale rispetto ad $x$, vedo che tu lo chiami x-semplice), a volte si possono riscrivere le condizioni $a<=x<=b, alpha(x)<=y<=beta(x)$ in modo tale che $D$ sia anche un dominio y-semplice.
Formalmente, può essere che esistano due funzioni (continue, almeno a tratti) $alpha', beta'$ tali che $D={(x, y)\inRR^2\ |\ alpha'(y)<=x<=beta'(x), c<=y<=d}$. Quindi possiamo applicare la formula di riduzione degli integrali doppi indifferentemente alla prima descrizione di $D$ o alla seconda.
grazie 1000...se riesco a trovare un esercizio provo a risolverlo e lo posto...grazie ancora
Tutto ok quanto detto finora.
Però faccio notare che lo scambio dell'ordine di dervazione si può fare perchè sotto il segno d'integrale doppio c'è una funzione "bella" (infatti, l'integrando è continuo nel dominio $D$) e ciò implica che l'integrale doppio $\int\int_D e^(y^3)" d"x"d"y$ esiste (indipendentemente dall'ordine con cui è calcolato).
In generale, quando la funzione sotto l'integrale doppio non c'è una funzione così "bella", non è detto che i due integrali iterati producano lo stesso risultato. Delle condizioni sufficienti affinché valga l'uguaglianza degli integrali iterati sono espresse nei teoremi di Fubini e Tonelli, che però non fanno parte del programma di Analisi II di solito.
Quindi, attenzione: se il prof. ti domanda "In generale si possono scambiare gli ordini d'integrazione senza cambiare il risultato?" la risposta è "In generale no. Però se la funzione è continua nel dominio $D$ individuato dagli estremi di uno degli integrali iterati e se tale dominio è compatto (anzi, basta misurabile secondo Peano-Jordan), allora lo scambio è lecito".
@ dissonance: Prova a scrivere:
per colorare il grafico di $sqrt(x)$ in rosso.
Però faccio notare che lo scambio dell'ordine di dervazione si può fare perchè sotto il segno d'integrale doppio c'è una funzione "bella" (infatti, l'integrando è continuo nel dominio $D$) e ciò implica che l'integrale doppio $\int\int_D e^(y^3)" d"x"d"y$ esiste (indipendentemente dall'ordine con cui è calcolato).
In generale, quando la funzione sotto l'integrale doppio non c'è una funzione così "bella", non è detto che i due integrali iterati producano lo stesso risultato. Delle condizioni sufficienti affinché valga l'uguaglianza degli integrali iterati sono espresse nei teoremi di Fubini e Tonelli, che però non fanno parte del programma di Analisi II di solito.
Quindi, attenzione: se il prof. ti domanda "In generale si possono scambiare gli ordini d'integrazione senza cambiare il risultato?" la risposta è "In generale no. Però se la funzione è continua nel dominio $D$ individuato dagli estremi di uno degli integrali iterati e se tale dominio è compatto (anzi, basta misurabile secondo Peano-Jordan), allora lo scambio è lecito".
@ dissonance: Prova a scrivere:
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=0; ymax=1;
axes();
line([0,1], [1,1]);line([0,1], [0,0]);
text([0.3, 0.8],"D");
stroke="red";
plot("sqrt(x)");
[/asvg]per colorare il grafico di $sqrt(x)$ in rosso.
Giusto, giusto, io stavo parlando di "formula di riduzione degli integrali doppi" e ho dato per scontato che stessimo parlando nell'ambito del calculus più concreto (integrale di Riemann), che di solito si studia in Analisi 2. Quello che ho detto io parte dal presupposto che:
a) tutte le funzioni coinvolte ($f, alpha, beta, alpha', beta'$) siano continue, o al più con un numero finito di discontinuità, e limitate;
b) i domini di integrazione siano definiti come ho scritto sopra, e di conseguenza siano chiusi e limitati. In particolare, visto che siamo in $RR^2$, tutti i domini di integrazione sono automaticamente compatti.
In queste ipotesi si può applicare il ragionamento di sopra.
Nota Bene: Anche in questo ambito, più restrittivo rispetto alla massima generalità di Gugo, non sempre è possibile scambiare gli ordini di integrazione, per questione di geometria del dominio. Esempio:
[asvg]xmin=0; xmax=3.14; ymin=0; ymax=2;
axes();
plot("sin(x)"); plot("sin(x)+1");line([0,0], [0, 1]); line([3.14, 0], [3.14,1]);
text([0.3, 0.8],"D");[/asvg]
Questo dominio è $x$-semplice. Infatti $D={(x, y)\ |\ 0<=x<=pi, sinx<=y<=sinx+1}$. Ma come lo puoi rendere $y$ semplice? Non puoi farlo direttamente. Potresti, si, dividerlo in vari pezzi $y$-semplici, ma tutto insieme non sarà mai $y$-semplice.
Quindi: Non farti fuorviare da quanto ti ho detto prima. Avevo dato per scontato che le ipotesi fossero quelle di sopra, e che fosse geometricamente possibile esprimere il dominio nelle due maniere. Non è un caso generale.
a) tutte le funzioni coinvolte ($f, alpha, beta, alpha', beta'$) siano continue, o al più con un numero finito di discontinuità, e limitate;
b) i domini di integrazione siano definiti come ho scritto sopra, e di conseguenza siano chiusi e limitati. In particolare, visto che siamo in $RR^2$, tutti i domini di integrazione sono automaticamente compatti.
In queste ipotesi si può applicare il ragionamento di sopra.
Nota Bene: Anche in questo ambito, più restrittivo rispetto alla massima generalità di Gugo, non sempre è possibile scambiare gli ordini di integrazione, per questione di geometria del dominio. Esempio:
[asvg]xmin=0; xmax=3.14; ymin=0; ymax=2;
axes();
plot("sin(x)"); plot("sin(x)+1");line([0,0], [0, 1]); line([3.14, 0], [3.14,1]);
text([0.3, 0.8],"D");[/asvg]
Questo dominio è $x$-semplice. Infatti $D={(x, y)\ |\ 0<=x<=pi, sinx<=y<=sinx+1}$. Ma come lo puoi rendere $y$ semplice? Non puoi farlo direttamente. Potresti, si, dividerlo in vari pezzi $y$-semplici, ma tutto insieme non sarà mai $y$-semplice.
Quindi: Non farti fuorviare da quanto ti ho detto prima. Avevo dato per scontato che le ipotesi fossero quelle di sopra, e che fosse geometricamente possibile esprimere il dominio nelle due maniere. Non è un caso generale.
@Gugo: Ho fatto un po' di prove, come dicevi tu, con stroke, ma non sono riuscito ad ottenere l'effetto voluto... Mi colora solo il grafico, mentre io vorrei riempire di rosso tutta la regione. Ho visto che c'è il comando fill ma non riesco a usarlo correttamente. Adesso apro un topic in "Il nostro forum" e magari ne parliamo lì.
Ah, allora avevo capito male... Credevo volessi colorare solo un pezzo della frontiera.
Per quanto riguarda il dominio normale rispetto ad $x$ e non ad $y$, quella è una "falsa" limitazione: basta infatti racchiudere $D$ in un rettangolo $R$ e buttare a zero $f$ fuori da $D$ (ossia in $R\setminus D$)...
Però andiamo nel sofisticato e direi che possiamo anche lasciar perdere.
Per quanto riguarda il dominio normale rispetto ad $x$ e non ad $y$, quella è una "falsa" limitazione: basta infatti racchiudere $D$ in un rettangolo $R$ e buttare a zero $f$ fuori da $D$ (ossia in $R\setminus D$)...
Però andiamo nel sofisticato e direi che possiamo anche lasciar perdere.
Prima di tutto vorrei ringraziarvi per avermi aiutato...senza di voi non sarei riuscito a capirli.
Ho fatto alcuni esercizi e in uno avevo
$\int_0^1 dy \int_root(3)(y)^1 f(x,y) dx
a me risultava
in x-semplice $D= [ 0<=y<=1 ; root(3)(y)<=x<=1 ]$ portandola ad y-semplice $D= [ 0<=x<=1 ; 0<=y<=x^4 ]$
e' giusto ??...grazie
Ho fatto alcuni esercizi e in uno avevo
$\int_0^1 dy \int_root(3)(y)^1 f(x,y) dx
a me risultava
in x-semplice $D= [ 0<=y<=1 ; root(3)(y)<=x<=1 ]$ portandola ad y-semplice $D= [ 0<=x<=1 ; 0<=y<=x^4 ]$
e' giusto ??...grazie
"Gugo82":
Per quanto riguarda il dominio normale rispetto ad $x$ e non ad $y$, quella è una "falsa" limitazione: basta infatti racchiudere $D$ in un rettangolo $R$ e buttare a zero $f$ fuori da $D$ (ossia in $R\setminus D$)...
Però andiamo nel sofisticato e direi che possiamo anche lasciar perdere.
(Mannaggia
) Vabbé, comunque l'esempio del dominio a ferro di cavallo può servire lo stesso. Prendilo come un caso in cui va prestata attenzione, ed è necessario qualche accorgimento per arrivare alla soluzione: ad esempio puoi procedere come dice Gugo, oppure (una cosa più terra-terra) puoi spezzare il dominio in quattro pezzi, tutti semplici rispetto ad $x$ e ad $y$... Ma comunque penso che ci siamo capiti.E per l'ultimo dominio $D$ non ho capito da dove esce $x^4$, forse volevi dire $x^3$? Con $x^3$ mi pare giusto.
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