Integrali indefinito funzione irrazionale

[danda46]

salve a tutti io sono un nuovo iscritto cercavo un aiuto con il seguente integrale perchè non sono riuscito proprio a capire come si procede in generale non ho capito come si integrano le funzioni irrazionali.... ringrazio tutti anticipatamente per l aiuto



$ int (x+2)/sqrt(x^2+x) $

[ciampax]

Se $\sqrt{x^2+x}=x+t$ allora $x=\frac{t^2}{1-2t}$ e $dx=\frac{2t-4t^2+2t^2}{(1-2t)^2}\ dt=\frac{2t(1-t)}{(1-2t)^2}\ dt$ e quindi, essendo pure $x+2=\frac{t^2+2-4t}{1-2t}$ e $\sqrt{x^2+x}=\frac{t^2+t-2t^2}{1-2t}=\frac{t(1-t)}{1-2t}$ si ha

$\int\frac{t^2-4t+2}{1-2t}\cdot\frac{1-2t}{t(1-t)}\cdot\frac{2t(1-t)}{(1-2t)^2}\ dt=2\int\frac{t^2-4t+2}{(1-2t)^2}\ dt$

Puoi decomporre l'integranda al modo seguente

$\frac{t^2-4t+2}{(1-2t)^2}=1/4\cdot\frac{4t^2-16t+8}{(1-2t)^2}=1/4\cdot\frac{(1-2t)^2+7-12t}{(1-2t)^2}=1/4+1/4\cdot\frac{7-12t}{(1-2t)^2}=$
$=1/4+1/4\cdot\frac{a}{1-2t}+\frac{b}{(1-2t)^2}=1/4+1/4\cdot\frac{b+a-2at}{(1-2t)^2}$

da cui $b+a=7,\ -2a=-12$ e quindi $a=6, b=1$. Infine l'integrale diventa

$2\int[1/4+1/4\cdot \frac{6}{1-2t}+1/4\cdot\frac{1}{(1-2t)^2}]\ dt=1/2[t-3\log|1-2t|+\frac{1}{2(1-2t)}]+c$

Sostituendo $t=\sqrt{x^2+x}-x$ trovi il valore cercato dell'integrale (che è $\sqrt{x^2+x}+3/2\log|1/2+x+\sqrt{x^2+x}|$, dopo opportune semplificazioni).