Integrali indefiniti fratti

[Ermete22]

Ciao, a tutti ragazzi e buona giornata.
Ad analisi ci è stato spiegato che, dato un integrale del tipo

$ int(mx+q)/(ax^2+bx+c) dx $

in caso di Delta del denominatore = 0, è possibile trovare il risultato dell'integrale facendo in questo modo:

Calcolo A e B dal seguente sistema (dove lambda è la sola soluzione dell'equazione del denominatore posto uguale a 0)

$ { ( 2A = m ),( -2(lambda)A+B=q):} $

Inserisco tutto in

$ A/a*ln|(x-lambda )^2|-B/a*1/(x-lambda )^-1 + k $

e ho risolto.

Dato perciò

$ int(2x-1)/(2x^2-6*(sqrt(2))x+9) dx $

dovrei avere

$ { ( A = 1 ),( B= -1+(3*sqrt(2))):} $

e dunque la soluzione dovrebbe essere

$ 1/2*ln|(x-(3*sqrt(2))/2)^2|-(-1+3*sqrt(2))/2*1/(x-(3*sqrt(2))/2)^-1 + k $

Invece il prof ci ha dato come soluzione

$ 1/sqrt(2)*ln|(sqrt(2)*x-3)^2|-((6/sqrt(2))-1)*((sqrt(2)x-3)^-1/sqrt(2)) + k $

Mi spiegate come mai? Grazie mille

[pilloeffe]

Ciao Ermete22,

Mi auguro che il professore vi abbia spiegato perché, altrimenti la faccenda scritta così risulta un po' sul criptico...
Dato un integrale del tipo

$ int(mx+q)/(ax^2+bx+c) dx $

se il denominatore ha $\Delta = 0 $ significa che è un quadrato perfetto e quindi, usando le tue notazioni, si ha:

$ int(mx+q)/(ax^2+bx+c) dx = frac{1}{a} int(mx+q)/(x - \lambda)^2 dx $

Per l'ultima funzione razionale fratta scritta sussiste una scomposizione in fratti semplici di Hermite del tipo seguente:

$(mx+q)/(x - \lambda)^2 = frac{A}{x - \lambda} + d/dx(frac{B}{x - \lambda}) = frac{A}{(x - \lambda)} - frac{B}{(x - \lambda)^2} = frac{A(x - \lambda) - B}{(x - \lambda)^2} $

Per il principio di identità dei polinomi dunque deve essere:

$ { ( A = m ),(- \lambda A - B = q):} \implies { ( A = m ),(B = - \lambda m - q):} $

che è diverso da ciò che hai scritto...
Perciò si ha:

$ int(mx+q)/(ax^2+bx+c) dx = frac{1}{a} int(mx+q)/(x - \lambda)^2 dx = frac{1}{a} int (frac{m}{x - \lambda} - d/dx(frac{\lambda m + q}{x - \lambda})) dx = $
$ = frac{1}{a} int frac{m}{x - \lambda} dx - frac{1}{a} int d/dx(frac{\lambda m + q}{x - \lambda}) dx = frac{m}{a} ln|x - \lambda| - frac{\lambda m + q}{a(x - \lambda)} + c $

[Ermete22]

nella seconda equazione che hai scritto (quella dove scrivi il quadrato) non hai tenuto conto dell'a che era coefficiente di x^2

[pilloeffe]

Hai ragione, ho supposto $a = 1 $...
Correggo il post.