Integrali Indefiniti Fratti

[Dave951]

Ciao ragazzi, ho un dubbio rispetto a questi integrali :
a) \(\displaystyle \int \frac {x^2-10x+10}{x^3+2x^2+5x} dx \) ;
b)\(\displaystyle \int \frac {x^2-2x-1}{x^2-4x+4} dx \) ;

caso a) : l'integrale l'ho riscritto come : \(\displaystyle \int \frac {x^2-10x+10}{x(x^2+2x+5) } dx \) e verifico che il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore. Una volta fatto ciò, vorrei utilizzare il metodo dei fratti semplici. Per utilizzarlo , riscrivo l'integrale in tal maniera :
\(\displaystyle \int \frac {x^2-10x+10}{x*( (x+1)^2+4)} dx \)

Ora, pongo queste condizioni : \(\displaystyle \frac {A}{x} + \frac {B}{(x+1)+4}+ \frac {C}{(x+1)^2+4} \) , sono corrette? è giusto il procedimento che ho seguito ? Se, si, mi ricavo ovviamente A,B,C , sostituisco i valori in \(\displaystyle \frac {A}{x} + \frac {B}{(x+1)+4}+ \frac {C}{(x+1)^2+4} \) e calcolo i vari integrali, in modo più agevole rispetto alla funzione iniziale.

caso b) : ho riscritto l'integrale come \(\displaystyle \int \frac {x^2-2x-1}{(x-2)^2} dx \). Il denominatore ha molteplicità due, pertanto pongo tali condizioni : \(\displaystyle \frac {A}{x-2} + \frac {B}{(x-2)^2} \), sono corrette?

grazie mille a chiunque risponderà e buone feste

[Dave951]

Una piccola cosina, nel primo integrale usando le formule parametriche , come lo tratti il dt ponendo
\(\displaystyle t= tan(x/2) \) ?

[Lo_zio_Tom]

ora è facile vedere che

$tan(arcsen(x))=x/sqrt(1-x^2)$

infatti abbiamo che:

$arcsenx=y$

quindi

$x=seny rarr x^2=sen^2y rarr1-x^2=cos^2y$

e quindi $cos(arcsenx)=sqrt(1-x^2)$

a questo punto $tan(arcsen(x))=(sen(arcsenx))/(cos(arcsenx))=x/sqrt(1-x^2)$

ovvero il risultato al quale sono giunto in 2 passaggi lordi coincide con quello del tuo testo

[Lo_zio_Tom]

"Dave95":Una piccola cosina, nel primo integrale usando le formule parametriche , come lo tratti il dt ponendo
\(\displaystyle t= tan(x/2) \) ?

ovviamente $dx=(2dt)/(1+t^2)$

[Lo_zio_Tom]

infatti hai:

$t=tan(x/2)$

ovvero

$arctan(t)=x/2$

$x=2arctan(t)$

e quindi

$dx=2/(1+t^2)dt$

[Lo_zio_Tom]

"Dave95":Si,ho capito. Quella sostituzione va benissimo, sono d'accordo ma volevo solo sapere se la sostituzione che ho fatto io , fosse corretta .

non so...io calcoli così complessi non li faccio...ho una certa età

hai due alternative:

1) derivi la primitiva che hai trovato e vedi se ti torna l'integranda

2) provi con acrobazie algebriche a far combaciare i risultati

oppure impari la sostituzione che ti ho proposto....

[Dave951]

Perfetto, grazie mille Tommik! Buon anno