Integrali Indefiniti Fratti
Ciao ragazzi, ho un dubbio rispetto a questi integrali :
a) \(\displaystyle \int \frac {x^2-10x+10}{x^3+2x^2+5x} dx \) ;
b)\(\displaystyle \int \frac {x^2-2x-1}{x^2-4x+4} dx \) ;
caso a) : l'integrale l'ho riscritto come : \(\displaystyle \int \frac {x^2-10x+10}{x(x^2+2x+5) } dx \) e verifico che il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore. Una volta fatto ciò, vorrei utilizzare il metodo dei fratti semplici. Per utilizzarlo , riscrivo l'integrale in tal maniera :
\(\displaystyle \int \frac {x^2-10x+10}{x*( (x+1)^2+4)} dx \)
Ora, pongo queste condizioni : \(\displaystyle \frac {A}{x} + \frac {B}{(x+1)+4}+ \frac {C}{(x+1)^2+4} \) , sono corrette? è giusto il procedimento che ho seguito ? Se, si, mi ricavo ovviamente A,B,C , sostituisco i valori in \(\displaystyle \frac {A}{x} + \frac {B}{(x+1)+4}+ \frac {C}{(x+1)^2+4} \) e calcolo i vari integrali, in modo più agevole rispetto alla funzione iniziale.
caso b) : ho riscritto l'integrale come \(\displaystyle \int \frac {x^2-2x-1}{(x-2)^2} dx \). Il denominatore ha molteplicità due, pertanto pongo tali condizioni : \(\displaystyle \frac {A}{x-2} + \frac {B}{(x-2)^2} \), sono corrette?
grazie mille a chiunque risponderà e buone feste
a) \(\displaystyle \int \frac {x^2-10x+10}{x^3+2x^2+5x} dx \) ;
b)\(\displaystyle \int \frac {x^2-2x-1}{x^2-4x+4} dx \) ;
caso a) : l'integrale l'ho riscritto come : \(\displaystyle \int \frac {x^2-10x+10}{x(x^2+2x+5) } dx \) e verifico che il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore. Una volta fatto ciò, vorrei utilizzare il metodo dei fratti semplici. Per utilizzarlo , riscrivo l'integrale in tal maniera :
\(\displaystyle \int \frac {x^2-10x+10}{x*( (x+1)^2+4)} dx \)
Ora, pongo queste condizioni : \(\displaystyle \frac {A}{x} + \frac {B}{(x+1)+4}+ \frac {C}{(x+1)^2+4} \) , sono corrette? è giusto il procedimento che ho seguito ? Se, si, mi ricavo ovviamente A,B,C , sostituisco i valori in \(\displaystyle \frac {A}{x} + \frac {B}{(x+1)+4}+ \frac {C}{(x+1)^2+4} \) e calcolo i vari integrali, in modo più agevole rispetto alla funzione iniziale.
caso b) : ho riscritto l'integrale come \(\displaystyle \int \frac {x^2-2x-1}{(x-2)^2} dx \). Il denominatore ha molteplicità due, pertanto pongo tali condizioni : \(\displaystyle \frac {A}{x-2} + \frac {B}{(x-2)^2} \), sono corrette?
grazie mille a chiunque risponderà e buone feste
Risposte
No, non vanno bene!
il primo lo devi scomporre così:
$A/x+(Bx+C)/(x^2+2x+5)=...=2/x-(x+14)/(x^2+2x+5)$
quando un denominatore è di secondo grado il numeratore ha la forma di $Ax+B$
ma c'è ancora da lavorarci....sei in grado di proseguire?
Per quanto riguarda il secondo invece non hai controllato (come hai fatto con il primo) che il denominatore fosse di grado superiore.....
il primo lo devi scomporre così:
$A/x+(Bx+C)/(x^2+2x+5)=...=2/x-(x+14)/(x^2+2x+5)$
quando un denominatore è di secondo grado il numeratore ha la forma di $Ax+B$
ma c'è ancora da lavorarci....sei in grado di proseguire?
Per quanto riguarda il secondo invece non hai controllato (come hai fatto con il primo) che il denominatore fosse di grado superiore.....
Ok, il primo caso l'ho risolto pure io poco fa.
Nel secondo caso , invece, il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore, giusto?
Nel secondo caso , invece, il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore, giusto?
quindi per il secondo dovresti prima fare la divisione di polinomi e poi procedere alla scomposizione in fratti semplici....
alternativamente alla divisione ti propongo quanto segue:
$(x^2-2x-1)/(x-2)^2=((x^2-4x+4)+(2x-5))/(x-2)^2=1+(2x-5)/(x^2-4x+4)=$
$=1+((2x-4)-1)/(x^2-4x+4)=1+(2x-4)/(x^2-4x+4)-1/(x-2)^2$
così evitiamo anche la scomposizione in fratti semplici....dato che ora sono tutti immediati
infatti,una volta integrati, restituiscono immediatamente
$x+log(x-2)^2+1/(x-2)+C$
senza alcun calcolo
alternativamente alla divisione ti propongo quanto segue:
$(x^2-2x-1)/(x-2)^2=((x^2-4x+4)+(2x-5))/(x-2)^2=1+(2x-5)/(x^2-4x+4)=$
$=1+((2x-4)-1)/(x^2-4x+4)=1+(2x-4)/(x^2-4x+4)-1/(x-2)^2$
così evitiamo anche la scomposizione in fratti semplici....dato che ora sono tutti immediati
infatti,una volta integrati, restituiscono immediatamente
$x+log(x-2)^2+1/(x-2)+C$
senza alcun calcolo
Sai tommik, per la divisione ci avevo pensato pure io, l'unica cosa è:
il professore ha spiegato che è possibile effettuarla nel caso in cui il grado del numeratore sia superiore al grado del denominatore, posso anche applicarla nel caso in cui il grado sia lo stesso sia per il numeratore che per il denominatore?
il professore ha spiegato che è possibile effettuarla nel caso in cui il grado del numeratore sia superiore al grado del denominatore, posso anche applicarla nel caso in cui il grado sia lo stesso sia per il numeratore che per il denominatore?
Una cosa tommik , ho un problema con la sostituzione di due integrali indefiniti, posso chiedere in questo topic o devo per forza aprirne un secondo?
"Dave95":
Sai tommik, per la divisione ci avevo pensato pure io, l'unica cosa è:
il professore ha spiegato che è possibile effettuarla nel caso in cui il grado del numeratore sia superiore al grado del denominatore, posso anche applicarla nel caso in cui il grado sia lo stesso sia per il numeratore che per il denominatore?
forse non sei stato attento in classe! basta che il grado del numeratore sia superiore o uguale al denominatore
hai capito la mia proposta? eviti sia la divisione che la scomposizione in fratti semplici!
"Dave95":
Una cosa tommik , ho un problema con la sostituzione di due integrali indefiniti, posso chiedere in questo topic o devo per forza aprirne un secondo?
dipende da te...per me fa lo stesso....se non ti incasini con le risposte fai pure qui....non è vietato
colpa mia grazie per il consiglio!
Il problema che ho con questi integrali è trovare il corretto algoritmo per effettuare la sostituzione.
Gli integrali sono:
a) \( \int \frac{dx}{2sinx+cosx-1} dx \);
b) \( \int ctg(5x) dx \);
c) \( \int \frac{dx}{ x^2 \sqrt{1+x^2}} dx\);
d) \( \int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3} } dx \);
e) \(\displaystyle\int xlog(1−2x−3x^2) dx \)
Ho provato a farli ma nulla da fare. Su 15 che c'erano solo questi non mi sono venuti. Grazie mille per l'aiuto e scusa per il tempo rubato!
ps: vorrei solo sapere che sostituzione mi consiglieresti per risolverli , nessuno svolgimento
Buone feste!
grazie per il consiglio! Il problema che ho con questi integrali è trovare il corretto algoritmo per effettuare la sostituzione.
Gli integrali sono:
a) \( \int \frac{dx}{2sinx+cosx-1} dx \);
b) \( \int ctg(5x) dx \);
c) \( \int \frac{dx}{ x^2 \sqrt{1+x^2}} dx\);
d) \( \int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)^3} } dx \);
e) \(\displaystyle\int xlog(1−2x−3x^2) dx \)
Ho provato a farli ma nulla da fare. Su 15 che c'erano solo questi non mi sono venuti. Grazie mille per l'aiuto e scusa per il tempo rubato!
ps: vorrei solo sapere che sostituzione mi consiglieresti per risolverli , nessuno svolgimento
Buone feste!
a) formule parametriche
b) $ sin (5x)=t $
c) immediato con $ sqrt (1+x^2)/x =t $
d) immediato con $ arcsin (x)=t $
e) scomponi l'argomento del log, scomponi in più integrali poi per parti o altro. ..
b) $ sin (5x)=t $
c) immediato con $ sqrt (1+x^2)/x =t $
d) immediato con $ arcsin (x)=t $
e) scomponi l'argomento del log, scomponi in più integrali poi per parti o altro. ..
PS: immagino tu abbia messo qualche $ dx $ di troppo. ...
No, scusami il b) era : \(\displaystyle \int ctg^5(x) dx \).
Con l'argomento \(\displaystyle 5x \) era semplice, perdonami.
Con l'argomento \(\displaystyle 5x \) era semplice, perdonami.
colpa dell'ora 
"Dave95":
No, scusami il b) era : \(\displaystyle \int ctg^5(x) dx \).
Con l'argomento \(\displaystyle 5x \) era semplice, perdonami.
anche gli altri erano abbastanza semplici....
Mi permetto di rispondere... con $sinx = t$ si risolve anche questo
"Dave95":
No, scusami il b) era : \(\displaystyle \int ctg^5(x) dx \).
Con l'argomento \(\displaystyle 5x \) era semplice, perdonami.
ti propongo questa strada:
$int cotg^5(x)dx=int (cos^5(x))/(sen^5(x))dx=int (cos^2(x)cos^2(x))/(sen^5(x))cosxdx=int (1-sen^2(x))^2/(sen^5(x))cosxdx$
poni $senx=t$, ovvero $cosxdx=dt$.......
nel caso d) ho applicato una sostituzione diversa dalla tua portandomi così a un'altra sostituzione . Come prima ho posto \(\displaystyle \sqrt{1-x^2}=t \) e come seconda \(\displaystyle \sqrt{1-t}=s \) ti tornano? il risultato è il seguente: \(\displaystyle 2 log(\frac{1+\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}} {1-\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}}) + c \). Lo so mi sono un po' incasinato, tuttavia l'unico dubbio che ho è: il risultato dell'integrale è \(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+c \)
"andar9896":
Mi permetto di rispondere... con $sinx = t$ si risolve anche questo
grazie mille a entrambi
io ti ho detto qual è la strada più intelligente:
$int1/(sqrt(1-x^2)^3)dx=int1/(1-x^2)1/sqrt(1-x^2)dx$
poni
$arcsenx=t$
$1/sqrt(1-x^2)dx=dt$
e l'integrale diventa:
$int1/cos^2(t)dt=tan(arcsen(x))+C$
$int1/(sqrt(1-x^2)^3)dx=int1/(1-x^2)1/sqrt(1-x^2)dx$
poni
$arcsenx=t$
$1/sqrt(1-x^2)dx=dt$
e l'integrale diventa:
$int1/cos^2(t)dt=tan(arcsen(x))+C$
Si,ho capito. Quella sostituzione va benissimo, sono d'accordo ma volevo solo sapere se la sostituzione che ho fatto io , fosse corretta .
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