Integrali indefiniti
Salve a tutti,
ho dei dubbi sulla risoluzione di 2 integrali indefiniti.
Ecco il primo:
$\int(1/cosx)dx$ . Il testo, nei casi in cui la funzione integranda presenta soltanto O la funzione seno O la funzione coseno, ci suggerisce di utilizzare il metodo di sostituzione in base alle formule parametriche.
Per cui, com'è ovvio, sostituisco a $cosx$ l'espressione $(1-t^2)/(1+t^2)$ e calcolo $dx$ . Alla fine, secondo i miei calcoli, ho $2\int1/(1-t^2)dt$ che è un integrale che non riesco a calcolare... non è tra gli immediati.Come risolvo qua?
Il secondo integrale "problematico" è $\int(cosx)^3dx$ e qui ci è stato detto che ci sono ben due metodi, uno con la formula di integrazione per parti, e un altro con le formule goniometriche.
Per quanto riguarda la formula di integrazione per parti, qui posso applicarla "spezzettando" la funzione integranda nel prodotto di $(cosx)^2($ e di $cosx$. Applicando la formula, ottengo che l'integrale datomi è uguale a $(senx)(cosx)^2+2senx-2\int(cosx)^3dx$ da cui, portando l'integrale ottenuto al primo membro e dividendo tutto per 3, ottengo un certo risultato, algebricamente ovvio.
Il testo però porta come risultato non il mio, bensì $senx-(senx)^3/3+c$ .
Prima di tutto, dove sbaglio nel ragionamento (o al limite, nei calcoli)?
E inoltre: qui come diavolo le applico le formule goniometriche, se volessi risolvere in entrambi i modi?
Grazie anticipatamente.
ho dei dubbi sulla risoluzione di 2 integrali indefiniti.
Ecco il primo:
$\int(1/cosx)dx$ . Il testo, nei casi in cui la funzione integranda presenta soltanto O la funzione seno O la funzione coseno, ci suggerisce di utilizzare il metodo di sostituzione in base alle formule parametriche.
Per cui, com'è ovvio, sostituisco a $cosx$ l'espressione $(1-t^2)/(1+t^2)$ e calcolo $dx$ . Alla fine, secondo i miei calcoli, ho $2\int1/(1-t^2)dt$ che è un integrale che non riesco a calcolare... non è tra gli immediati.Come risolvo qua?
Il secondo integrale "problematico" è $\int(cosx)^3dx$ e qui ci è stato detto che ci sono ben due metodi, uno con la formula di integrazione per parti, e un altro con le formule goniometriche.
Per quanto riguarda la formula di integrazione per parti, qui posso applicarla "spezzettando" la funzione integranda nel prodotto di $(cosx)^2($ e di $cosx$. Applicando la formula, ottengo che l'integrale datomi è uguale a $(senx)(cosx)^2+2senx-2\int(cosx)^3dx$ da cui, portando l'integrale ottenuto al primo membro e dividendo tutto per 3, ottengo un certo risultato, algebricamente ovvio.
Il testo però porta come risultato non il mio, bensì $senx-(senx)^3/3+c$ .
Prima di tutto, dove sbaglio nel ragionamento (o al limite, nei calcoli)?
E inoltre: qui come diavolo le applico le formule goniometriche, se volessi risolvere in entrambi i modi?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Per il primo io ti consiglio di trovare $A,B in RR t.c. 1/(1-t^2)=A/(1+t)+B/(1-t)$
Ciao.
Per il primo puoi notare che vale l'identità
[tex]$\frac{1}{1+t^2}=\frac{1}{2(1-t)}+\frac{1}{2(1+t)}$[/tex]
e le due frazioni a destra ti portano subito ad dei logaritmi.
Per il secondo, il risultato ti è venuto!
Infatti hai ottenuto
[tex]$I=\sin x(\cos x)^2+2\sin x-2I+c$[/tex] cioè appunto
[tex]$I=\frac{\sin x(\cos x)^2+2\sin x}{3}+c$[/tex] e usando [tex]$(\cos x)^2=1-(\sin x)^2$[/tex] ottieni il risultato del libro.
L'altro modo è di scrivere subito
[tex]$(\cos x)^3=\cos x (1-\sin^2 x)$[/tex] cioè
[tex]$\int(1-\sin^2 x) \cos x \text{d}x=\int (1-\sin^2 x) \text{d}\sin x=\int (1-y^2) \text{d}y$[/tex]
Fammi sapere.
Per il primo puoi notare che vale l'identità
[tex]$\frac{1}{1+t^2}=\frac{1}{2(1-t)}+\frac{1}{2(1+t)}$[/tex]
e le due frazioni a destra ti portano subito ad dei logaritmi.
Per il secondo, il risultato ti è venuto!
Infatti hai ottenuto
[tex]$I=\sin x(\cos x)^2+2\sin x-2I+c$[/tex] cioè appunto
[tex]$I=\frac{\sin x(\cos x)^2+2\sin x}{3}+c$[/tex] e usando [tex]$(\cos x)^2=1-(\sin x)^2$[/tex] ottieni il risultato del libro.
L'altro modo è di scrivere subito
[tex]$(\cos x)^3=\cos x (1-\sin^2 x)$[/tex] cioè
[tex]$\int(1-\sin^2 x) \cos x \text{d}x=\int (1-\sin^2 x) \text{d}\sin x=\int (1-y^2) \text{d}y$[/tex]
Fammi sapere.
Grazie Relegal, e grazi ovviamente anche a te Steven. Il primo l'ho capito... in pratica quindi in questi casi devo sempre cercare di scompormi l'integranda, giusto? E inoltre: è corretto usare le parametriche se abbiamo solo il seno o solo il coseno?
Hai ragione sul risultato del secondo
giuro non me ne ero accorto!
Una cosa però non mi è chiara.
E cioè: nel secondo metodo, quello che vede $(cosx)^2$ come $1-(senx)^2$ sei passato da $cosxdx$ a $dsinx$. Sicuramente sarà una cosa semplice (visto che non l'hai "spiegata") ma me la puoi esplicitare?
Hai ragione sul risultato del secondo
giuro non me ne ero accorto! Una cosa però non mi è chiara.
E cioè: nel secondo metodo, quello che vede $(cosx)^2$ come $1-(senx)^2$ sei passato da $cosxdx$ a $dsinx$. Sicuramente sarà una cosa semplice (visto che non l'hai "spiegata") ma me la puoi esplicitare?
E' diciamo un modo veloce che in questo caso la situazione ci permette di usare.
La definizione di differenziale è questa: data una funzione [tex]$f$[/tex] derivabile, allora [tex]$\text{d}f(x)=f'(x)\text{d}x$[/tex]
Se la nostra [tex]$f$[/tex] è [tex]$\sin x$[/tex], allora
[tex]$\text{d}\sin x=\cos x\text{d}x$[/tex].
Ecco, questa è l'uguaglianza cercata. Semplicemente in questo caso noi abbiamo trasformato al contrario, cioè
[tex]$\cos x\text{d}x$[/tex] in [tex]$\text{d}\sin x$[/tex]
E' un passaggio che ti garantisce il risultato ma in effetti forse non il massimo del rigore
L'alternativa sarebbe quella di porre [tex]$\sin x = y$[/tex], e arriveresti allo stesso risultato.
Ti torna tutto?
La definizione di differenziale è questa: data una funzione [tex]$f$[/tex] derivabile, allora [tex]$\text{d}f(x)=f'(x)\text{d}x$[/tex]
Se la nostra [tex]$f$[/tex] è [tex]$\sin x$[/tex], allora
[tex]$\text{d}\sin x=\cos x\text{d}x$[/tex].
Ecco, questa è l'uguaglianza cercata. Semplicemente in questo caso noi abbiamo trasformato al contrario, cioè
[tex]$\cos x\text{d}x$[/tex] in [tex]$\text{d}\sin x$[/tex]
E' un passaggio che ti garantisce il risultato ma in effetti forse non il massimo del rigore
L'alternativa sarebbe quella di porre [tex]$\sin x = y$[/tex], e arriveresti allo stesso risultato.
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