Integrali indefiniti.
Raga', sapreste darmi uno spunto per questo integrale?
$\int frac{1}{(1 + x^2)^2} dx$
Ho provato con la risoluzione "per parti", considerando $1$ come la derivata di $x$, ma invano.
P.S.- E' vero che non è possibile, nel caso degli integrali, moltiplicare numeratore e denominatore per una stessa funzione, a meno che non si tratti di funzioni tali da non "modificare" l'insieme in cui la funzione da integrare è continua?
$\int frac{1}{(1 + x^2)^2} dx$
Ho provato con la risoluzione "per parti", considerando $1$ come la derivata di $x$, ma invano.
P.S.- E' vero che non è possibile, nel caso degli integrali, moltiplicare numeratore e denominatore per una stessa funzione, a meno che non si tratti di funzioni tali da non "modificare" l'insieme in cui la funzione da integrare è continua?
Risposte
Grazie, Fireball. E per quanto riguarda il post-scriptum?
Ragazzi, ho un integrale del tipo:
$int frac {1}{x^2 + x +1} dx$
Vedete un po':
1) Se il mio ragionamento va bene;
2) Se è l'unico, ovvero il più breve possibile, per la risoluzione.
Al numeratore aggiungo e sottraggo qualche polinomio in modo da ottenere, spezzando successivamente la somma, due rapporti: uno è facile da integrare in quanto al numeratore c'è la derivata del polinomio in parentesi (sostituzione); l'altro invece lo integro per parti. Per parti riesco ad ottenere un rapporto tra polinomi per cui il grado del numeratore è sempre maggiore o uguale quello del denominatore (una volta che risolvo "per parti" riesco ad ottenere un polinomio di grado inferiore o uguale a quello che ottengo al denominatore.
Successivamente, effettuo una divisione tra polinomi e trasformo un rapporto in somma. Alla fine riesco ad arrivare ad una funzione integranda tale che al denominatore non compaiono potenze di polinomi, se non ad esponente $1$.
$int frac {1}{x^2 + x +1} dx$
Vedete un po':
1) Se il mio ragionamento va bene;
2) Se è l'unico, ovvero il più breve possibile, per la risoluzione.
Al numeratore aggiungo e sottraggo qualche polinomio in modo da ottenere, spezzando successivamente la somma, due rapporti: uno è facile da integrare in quanto al numeratore c'è la derivata del polinomio in parentesi (sostituzione); l'altro invece lo integro per parti. Per parti riesco ad ottenere un rapporto tra polinomi per cui il grado del numeratore è sempre maggiore o uguale quello del denominatore (una volta che risolvo "per parti" riesco ad ottenere un polinomio di grado inferiore o uguale a quello che ottengo al denominatore.
Successivamente, effettuo una divisione tra polinomi e trasformo un rapporto in somma. Alla fine riesco ad arrivare ad una funzione integranda tale che al denominatore non compaiono potenze di polinomi, se non ad esponente $1$.
Credo che vada bene; anzi, mi sa che è l'unica strada da seguire quando il denominatore non ha zeri reali (come nel tuo caso).
Ad ogni modo, turtle, tutte queste tecniche le trovi spiegate (con dovizia di particolari) sul Fiorenza-Greco.
Ad ogni modo, turtle, tutte queste tecniche le trovi spiegate (con dovizia di particolari) sul Fiorenza-Greco.
Io uso il Fiorenza-Esposito, molte cose riesco a ricavarmele da lì, per le altre mi devo affidare all'intuito, visto che non ci sono da nessuna parte. Come eserciziario, uso proprio il libro di Fiorenza, quello scritto "a mano" per intenderci. Solo che i rimandi che fa, proprio perchè non uso il Fiorenza-Greco, non li trovo da nessuna parte 
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Chiudo questa giornata con una richiesta:
Dove è possibile, sul web, trovare appunti in merito alla scomposizione in fratti semplici per qualcuno dei quali vi sia un polinomio di secondo grado al denominatore non ulteriormente scomponibile ($\Delta < 0$)? Intendevo proprio la spiegazione di un metodo per trovare le famose costanti reali $A, B, C, etc.$ che compaiono al numeratore dei fratti semplici, anche in questo caso un po' più complesso.
Dove è possibile, sul web, trovare appunti in merito alla scomposizione in fratti semplici per qualcuno dei quali vi sia un polinomio di secondo grado al denominatore non ulteriormente scomponibile ($\Delta < 0$)? Intendevo proprio la spiegazione di un metodo per trovare le famose costanti reali $A, B, C, etc.$ che compaiono al numeratore dei fratti semplici, anche in questo caso un po' più complesso.
"turtle87":
Come eserciziario, uso proprio il libro di Fiorenza, quello scritto "a mano" per intenderci.
L'ho usato anch'io, ai miei tempi.
Gli esercizi dal Fiorenzino sono un bel banco di prova, secondo me.
"turtle87":
Solo che i rimandi che fa, proprio perchè non uso il Fiorenza-Greco, non li trovo da nessuna parte
Ma vallo a prendere in prestito alla biblioteca di via Claudio, no?
P.S.: per l'integrale che avevi postato prima, cerca di scrivere il denominatore come somma di quadrati, così puoi ricondurti a qualcosa che assomiglia molto alla derivata dell'arcotangente.
Tipo, nota che:
$x^2+x+1=(x^2+x+1/4)+3/4=(x+1/2)^2+3/4$
e sei già a metà dell'opera.
4 anni fa (mentre facevo il quinto anno di liceo), proprio su questo forum, avevo postato una formuletta che avevo ricavato
per il calcolo di integrali di questo tipo, ma effettivamente è molto più intelligente ragionare così, e cioè, quando il discriminante
del trinomio di secondo grado $ax^2+bx+c$ a denominatore è negativo e $a>0$ (se $a$ non fosse positivo, basta mettere un meno
fuori dall'integrale e cambiare tutti i segni), poiché tale trinomio risulta sempre positivo, si può scriverlo come $(\alpha x+\beta)^2+\gamma^2$,
con $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ da determinare sviluppando questa somma di quadrati e confrontandola con $ax^2+bx+c$. Quindi alla fine
ci si riconduce sempre a integrali che si sa calcolare.
per il calcolo di integrali di questo tipo, ma effettivamente è molto più intelligente ragionare così, e cioè, quando il discriminante
del trinomio di secondo grado $ax^2+bx+c$ a denominatore è negativo e $a>0$ (se $a$ non fosse positivo, basta mettere un meno
fuori dall'integrale e cambiare tutti i segni), poiché tale trinomio risulta sempre positivo, si può scriverlo come $(\alpha x+\beta)^2+\gamma^2$,
con $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ da determinare sviluppando questa somma di quadrati e confrontandola con $ax^2+bx+c$. Quindi alla fine
ci si riconduce sempre a integrali che si sa calcolare.
Ragazzi, potreste aiutarmi, (abbiate pazienza) con questa scomposizione in fratti semplici per la quale non ho capito come fare?
$int frac{ax^2 + bx + c}{(x - \lambda)*(dx^2 + ex + f)}$.
Il testo mi dice di fare così, trasformando la funzione da integrare nella seguente forma:
$frac{A}{x-\lambda} + frac{Bx + C}{d x^2 + ex+ f}$
Poi però non capisco come fare, cioè non ho capito come calcolare $A, B, C$.
$int frac{ax^2 + bx + c}{(x - \lambda)*(dx^2 + ex + f)}$.
Il testo mi dice di fare così, trasformando la funzione da integrare nella seguente forma:
$frac{A}{x-\lambda} + frac{Bx + C}{d x^2 + ex+ f}$
Poi però non capisco come fare, cioè non ho capito come calcolare $A, B, C$.
devi svolgere i calcoli ed uguagliare le due frazioni.
ottieni l'uguaglianza di due frazioni con lo stesso denominatore, e uguagli (identicamente) i numeratori: dovresti ottenere
$A(dx^2+ex+f)+(Bx+C)(x-lambda)-=ax^2+bx+c$
i due polinomi devono essere identici, cioè devi uguagliare i coefficienti dei termini dello stesso grado.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
ottieni l'uguaglianza di due frazioni con lo stesso denominatore, e uguagli (identicamente) i numeratori: dovresti ottenere
$A(dx^2+ex+f)+(Bx+C)(x-lambda)-=ax^2+bx+c$
i due polinomi devono essere identici, cioè devi uguagliare i coefficienti dei termini dello stesso grado.
spero sia chiaro. prova e facci sapere. ciao.
E posso estendere il metodo della scomposizione in fratti semplici ai casi in cui capita che al denominatore esca un prodotto di fattori il cui grado massimo non sia il secondo?
Un esempio in tal senso è l'integrale:
$int frac{ 6x^3 + 11 x^2 -8x +4 }{ (2x-1)^2(x^2 + x +1)} dx$
Un esempio in tal senso è l'integrale:
$int frac{ 6x^3 + 11 x^2 -8x +4 }{ (2x-1)^2(x^2 + x +1)} dx$
sì, il metodo è lo stesso, però con qualche piccola variazione nell'impostazione. in questo caso avresti
$A/(2x-1)+B/(2x-1)^2+(Cx+D)/(x^2+x+1)$
non che poi sia finita, ma questo è il metodo per decomporre "in fratti semplici".
si procede direttamente perché il numeratore ha grado (3) minore del denominatore (4).
$A/(2x-1)+B/(2x-1)^2+(Cx+D)/(x^2+x+1)$
non che poi sia finita, ma questo è il metodo per decomporre "in fratti semplici".
si procede direttamente perché il numeratore ha grado (3) minore del denominatore (4).
E in base a quale criterio posso farlo? Cioè, c'è qualche trucco per andare alla formula in modo algoritmico, e non euristico? 
Quando magari trovo anche polinomi di grado superiore al secondo?
Quando magari trovo anche polinomi di grado superiore al secondo?
parli di trucco, e non di modo euristico?
a parte gli scherzi, questo metodo fa sì che il numeratore "nuovo" abba grado pari a quello del denominatore meno 1, la scelta sulla suddivisione in fratti penso sia dettata dalla possibilità di trovare successivamente le primitive, ed inoltre il principio di identità dei polinomi ti permette di affermare che le due espressioni sono identiche, il principio di decomposizione degli integrali ti permette di trovare più primitive più semplici anziché una sola "introvabile" direttamente...
non so che cosa tu intenda. se c'è qualcuno specialista dell'argomento che abbia voglia di intervenire, ben venga...
a parte gli scherzi, questo metodo fa sì che il numeratore "nuovo" abba grado pari a quello del denominatore meno 1, la scelta sulla suddivisione in fratti penso sia dettata dalla possibilità di trovare successivamente le primitive, ed inoltre il principio di identità dei polinomi ti permette di affermare che le due espressioni sono identiche, il principio di decomposizione degli integrali ti permette di trovare più primitive più semplici anziché una sola "introvabile" direttamente...
non so che cosa tu intenda. se c'è qualcuno specialista dell'argomento che abbia voglia di intervenire, ben venga...
per quanto riguarda i polinomi di grado superiore al secondo... non è che sia sempre facile, ma la teoria algebrica ci dice (teorema fondamentale dell'algebra) che un polinomio di grado n ha esattamente n radici (complesse), contate con la loro molteplicità. ma, se è a coefficienti reali, le eventuali soluzioni non reali sono a coppie complesse coniugate. la cosa dovrebbe tradursi nella possibilià di scomporre in campo reale ogni polinomio a coefficienti reali in termini al massimo di secondo grado... in via del tutto teorica... nella pratica non credo sia sempre facile...
se anche ci fosse un termine come $(x^2+x+1)^3$ dovremmo scrivere $(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2+x+1)^2+(Ex+F)/(x^2+x+1)^3$
spero di aver reso l'idea. ciao.
se anche ci fosse un termine come $(x^2+x+1)^3$ dovremmo scrivere $(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2+x+1)^2+(Ex+F)/(x^2+x+1)^3$
spero di aver reso l'idea. ciao.
Sì, anche perchè ho confrontato questo link:
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntIndef2c.htm
Anche se non riesco ad essere sicuro di come un qualsiasi polinomio di grado $n >2$ possa essere, in ogni caso, scomponibile in quei quattro polinomi che lì sono elencati.
Comunque, per chiudere la giornata, propongo quest'ultimo integrale fondamentale:
$int frac{1}{(senx)^n} dx$.
Provo a ragionare per parti, ma non riesco a semplificare la forma. Ho provato anche per sostituzione, ponendo $t = senx$, ma niente. Nel frattempo continuo a pensarci, comunque.
http://www.chihapauradellamatematica.org/Quaderni2002/Integrale_Definito/IntIndef2c.htm
Anche se non riesco ad essere sicuro di come un qualsiasi polinomio di grado $n >2$ possa essere, in ogni caso, scomponibile in quei quattro polinomi che lì sono elencati.
Comunque, per chiudere la giornata, propongo quest'ultimo integrale fondamentale:
$int frac{1}{(senx)^n} dx$.
Provo a ragionare per parti, ma non riesco a semplificare la forma. Ho provato anche per sostituzione, ponendo $t = senx$, ma niente. Nel frattempo continuo a pensarci, comunque.
Provato con le solite sostituzioni in $t=tg(x/2)$?
In questo modo hai $sin x=(2t)/(1+t^2)$ e $x=2arctg t => "d"x=2/(1+t^2)" d"t$...
In questo modo hai $sin x=(2t)/(1+t^2)$ e $x=2arctg t => "d"x=2/(1+t^2)" d"t$...
Provato con le solite sostituzioni in $t= tg(x/2)$ ?
E' davvero l'unico modo per farlo
?
Che io ricordi, sì.
Però, mi pare che se l'esponente del seno è pari puoi sostituire direttamente $t=tgx$ e viene un po' meglio... Devi verificare.
Però, mi pare che se l'esponente del seno è pari puoi sostituire direttamente $t=tgx$ e viene un po' meglio... Devi verificare.
Ho un caso molto frequente di integrali, quello dell' esempio:
$int frac {1}{(1+x^2)^2}$.
Provo con i fratti semplici, perchè mi pare l'unico modo utile. Andando infatti per parti, vado solo a complicare le cose. Se aggiungessi $x$ al numeratore e al denominatore, limiterei il dominio in cui manterrebbe validità l'operazione, modificandosi il dominio.
Ho, modificando la funzione integranda:
$frac {1}{(1+x^2)^2} = frac{ax+b}{1 + x^2} + frac{cx + d}{(1 + x^2) ^2}$.
Sviluppano, torno al punto di partenza, visto che trovo: $a = b= c = 0$ e $d=0$.
Chi sa aiutarmi? L'ho postato perchè è un caso molto frequente di integrali.
$int frac {1}{(1+x^2)^2}$.
Provo con i fratti semplici, perchè mi pare l'unico modo utile. Andando infatti per parti, vado solo a complicare le cose. Se aggiungessi $x$ al numeratore e al denominatore, limiterei il dominio in cui manterrebbe validità l'operazione, modificandosi il dominio.
Ho, modificando la funzione integranda:
$frac {1}{(1+x^2)^2} = frac{ax+b}{1 + x^2} + frac{cx + d}{(1 + x^2) ^2}$.
Sviluppano, torno al punto di partenza, visto che trovo: $a = b= c = 0$ e $d=0$.
Chi sa aiutarmi? L'ho postato perchè è un caso molto frequente di integrali.
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