Integrali indefiniti.
Raga', sapreste darmi uno spunto per questo integrale?
$\int frac{1}{(1 + x^2)^2} dx$
Ho provato con la risoluzione "per parti", considerando $1$ come la derivata di $x$, ma invano.
P.S.- E' vero che non è possibile, nel caso degli integrali, moltiplicare numeratore e denominatore per una stessa funzione, a meno che non si tratti di funzioni tali da non "modificare" l'insieme in cui la funzione da integrare è continua?
$\int frac{1}{(1 + x^2)^2} dx$
Ho provato con la risoluzione "per parti", considerando $1$ come la derivata di $x$, ma invano.
P.S.- E' vero che non è possibile, nel caso degli integrali, moltiplicare numeratore e denominatore per una stessa funzione, a meno che non si tratti di funzioni tali da non "modificare" l'insieme in cui la funzione da integrare è continua?
Risposte
Qui c'è il trucco...
Somma e sottrai $x^2$ al numeratore e spezza la frazione; poi integra con l'arcotangente un pezzo e per parti il secondo pezzo (con fattore differenziale $x" d"x=1/2 " d"[1+x^2]$).
Somma e sottrai $x^2$ al numeratore e spezza la frazione; poi integra con l'arcotangente un pezzo e per parti il secondo pezzo (con fattore differenziale $x" d"x=1/2 " d"[1+x^2]$).
Scusate, ragazzi, sarebbe possibile generalizzare per la risoluzione di integrali del tipo:
$ int frac {ax + b}{(x^2 + px + q)^n}$, dove $a, b, p, q$ sono numeri reali, $n$ naturale e dove $p^2 - 4q <0$.
Spesso utilizzo gli spunti che mi avete già dato a proposito di casi particolari, ma purtroppo non pervengo a nulla. Magari conoscere la regola generale potrebbe essere fondamentale.
$ int frac {ax + b}{(x^2 + px + q)^n}$, dove $a, b, p, q$ sono numeri reali, $n$ naturale e dove $p^2 - 4q <0$.
Spesso utilizzo gli spunti che mi avete già dato a proposito di casi particolari, ma purtroppo non pervengo a nulla. Magari conoscere la regola generale potrebbe essere fondamentale.
Ripropongo il messaggio, penso sia possibile farlo.
E' importante per me, non voglio insistere per un capriccio, mi è proprio importante!
E' importante per me, non voglio insistere per un capriccio, mi è proprio importante!
"turtle87":
Scusate, ragazzi, sarebbe possibile generalizzare per la risoluzione di integrali del tipo:
$ int frac {ax + b}{(x^2 + px + q)^n}$, dove $a, b, p, q$ sono numeri reali, $n$ naturale e dove $p^2 - 4q <0$.
Spesso utilizzo gli spunti che mi avete già dato a proposito di casi particolari, ma purtroppo non pervengo a nulla. Magari conoscere la regola generale potrebbe essere fondamentale.
scusami, ma che cosa ci sarebbe di diverso da questo? che cosa intendi chiedere?
"adaBTTLS":
per quanto riguarda i polinomi di grado superiore al secondo... non è che sia sempre facile, ma la teoria algebrica ci dice (teorema fondamentale dell'algebra) che un polinomio di grado n ha esattamente n radici (complesse), contate con la loro molteplicità. ma, se è a coefficienti reali, le eventuali soluzioni non reali sono a coppie complesse coniugate. la cosa dovrebbe tradursi nella possibilià di scomporre in campo reale ogni polinomio a coefficienti reali in termini al massimo di secondo grado... in via del tutto teorica... nella pratica non credo sia sempre facile...
se anche ci fosse un termine come $(x^2+x+1)^3$ dovremmo scrivere $(Ax+B)/(x^2+x+1)+(Cx+D)/(x^2+x+1)^2+(Ex+F)/(x^2+x+1)^3$
spero di aver reso l'idea. ciao.
spero che tu non ti aspetti una formuletta per ricavarti i coefficienti, senza nemmeno fissare n ... !
Il problema è il seguente:
faccio esercizi sul tipo di integrale in questione, questo, appunto:
$int frac {px + q}{(ax^2 + bx + c)^n}$
1) Provo a ragionare cercando di aggiungere e sottrarre qualcosa al primo membro, in modo da ottenere due integrali. Si può agire in due modi sostanzialmente (notate che analizzo la complessità dei casi, anche se al mio livello di beginner): o si ricrea in uno dei numeratori delle due funzioni integrande così ottenute lo stesso polinomio che è al denominatore (una cosa del tipo $frac {p(x)}{p(x) ^ n}$), oppure al numeratore si ricrea la derivata del polinomio $ax^2 + bx + c$ (del denominatore, quindi), in modo da poter operare per sostituzione.
2) Uno dei due integrali, quindi, lo risolvo o per sostituzione, oppure ricorrendo a qualche integrale elementare; resta in genere da risolvere un secondo integrale;per il quale, in genere, si può operare tranquillamente scomponendo in fratti semplici, dato che l'unica cosa da vedere prima di poter ragionare così è quella di verificare che il grado del numeratore sia minore di quello del denominatore.
Il problema sembrerebbe risolto, ma non è così: perchè spesso, ricorrendo al metodo dei fratti semplici, non ottengo che l'integrale di partenza.
Adesso posto qualche esempio, così magari sembra tutto più chiaro. Mi scuso in partenza se magari alcune cose avrei dovuto capirle già prima, dai vostri consigli e dalle vostre soluzioni; ma la mia mente spesso si paralizza, non riuscendo ad arrivare, per induzione, a soluzioni capaci di essere applicate "sempre", soprattutto se un certo esercizio viene presentato come "esercizio che probabilmente ha una soluzione generale capace di essere applicata sempre".
Consideriamo l'integrale:
1) $int frac{1}{(1 + x^2)^3} dx$
Ragiono aggiungendo e sottraendo la derivata di $1 + x^2$, $2x$, al numeratore:
$int frac {}{} dx$ =$int frac {2x}{(1 + x^2)^3} dx - int frac {2x - 1}{(1 + x^2)^3} dx $
Il primo dei due integrali si risolve per sostituzione; il secondo, invece, sarei tentato di risolverlo scomponendo in fratti semplici; vado ad attuare la procedura, ma ottengo semplicemente l'integrale di prima.
La stessa cosa se ragionassi aggiungendo e sottraendo $x^2$.
Quindi, il metodo dei fratti semplici non serve a niente qui.
faccio esercizi sul tipo di integrale in questione, questo, appunto:
$int frac {px + q}{(ax^2 + bx + c)^n}$
1) Provo a ragionare cercando di aggiungere e sottrarre qualcosa al primo membro, in modo da ottenere due integrali. Si può agire in due modi sostanzialmente (notate che analizzo la complessità dei casi, anche se al mio livello di beginner): o si ricrea in uno dei numeratori delle due funzioni integrande così ottenute lo stesso polinomio che è al denominatore (una cosa del tipo $frac {p(x)}{p(x) ^ n}$), oppure al numeratore si ricrea la derivata del polinomio $ax^2 + bx + c$ (del denominatore, quindi), in modo da poter operare per sostituzione.
2) Uno dei due integrali, quindi, lo risolvo o per sostituzione, oppure ricorrendo a qualche integrale elementare; resta in genere da risolvere un secondo integrale;per il quale, in genere, si può operare tranquillamente scomponendo in fratti semplici, dato che l'unica cosa da vedere prima di poter ragionare così è quella di verificare che il grado del numeratore sia minore di quello del denominatore.
Il problema sembrerebbe risolto, ma non è così: perchè spesso, ricorrendo al metodo dei fratti semplici, non ottengo che l'integrale di partenza.
Adesso posto qualche esempio, così magari sembra tutto più chiaro. Mi scuso in partenza se magari alcune cose avrei dovuto capirle già prima, dai vostri consigli e dalle vostre soluzioni; ma la mia mente spesso si paralizza, non riuscendo ad arrivare, per induzione, a soluzioni capaci di essere applicate "sempre", soprattutto se un certo esercizio viene presentato come "esercizio che probabilmente ha una soluzione generale capace di essere applicata sempre".
Consideriamo l'integrale:
1) $int frac{1}{(1 + x^2)^3} dx$
Ragiono aggiungendo e sottraendo la derivata di $1 + x^2$, $2x$, al numeratore:
$int frac {}{} dx$ =$int frac {2x}{(1 + x^2)^3} dx - int frac {2x - 1}{(1 + x^2)^3} dx $
Il primo dei due integrali si risolve per sostituzione; il secondo, invece, sarei tentato di risolverlo scomponendo in fratti semplici; vado ad attuare la procedura, ma ottengo semplicemente l'integrale di prima.
La stessa cosa se ragionassi aggiungendo e sottraendo $x^2$.
Quindi, il metodo dei fratti semplici non serve a niente qui.
se hai un trinomio di secondo grado con discriminante negativo, ovviamente, non scomponi ulteriormente, ma prima cerchi di ottenere quello che hai detto: se hai inizialmente eseguito la divisione, il numeratore deve avere grado uno o zero. se ha grado uno, devi moltiplicare per un opportuno fattore in modo che "p" diventi "2a" per poter isolare la derivata del denominatore, e quello che rimarrà sarà di grado zero. su quello che rimarrà, con qualche "aggiustamento", sarà da riconoscere come primitiva l'arcotangente di un'opportuna funzione...
anche questo "continua"...
anche questo "continua"...
[OT]
Mi scuso per l'intromissione nel discorso, molto interessante, ma il titolo del thread mi ha fatto venire in mente una cosa sentita di recente all'uni.
C'è un professore (anche abbastanza bravo, devo dire) che insegna Matematica ai biologi.
Negli scritti è abituato a mettere qualche domanda a risposta multipla; una di tali domande è quasi sempre "Un integrale indefinito è..." con le solite quattro alternative:
- una funzione;
- un numero reale;
- un insieme di funzioni;
- un integrale che non può essere definito.
La risposta più gettonata è sempre l'ultima.
La cosa bella è che quando il prof. ha cercato di venire incontro agli studenti modificando la domanda in "Un integrale definito è...", la risposta più gettonata è stata sempre "un integrale che non può essere definito".
Vabbé che son biologi... Ma come si fa?!?
[/OT]
Mi scuso per l'intromissione nel discorso, molto interessante, ma il titolo del thread mi ha fatto venire in mente una cosa sentita di recente all'uni.
C'è un professore (anche abbastanza bravo, devo dire) che insegna Matematica ai biologi.
Negli scritti è abituato a mettere qualche domanda a risposta multipla; una di tali domande è quasi sempre "Un integrale indefinito è..." con le solite quattro alternative:
- una funzione;
- un numero reale;
- un insieme di funzioni;
- un integrale che non può essere definito.
La risposta più gettonata è sempre l'ultima.
La cosa bella è che quando il prof. ha cercato di venire incontro agli studenti modificando la domanda in "Un integrale definito è...", la risposta più gettonata è stata sempre "un integrale che non può essere definito".
Vabbé che son biologi... Ma come si fa?!?
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[OT]
nessuna intromissione ... (nel senso che non c'è stata ...
)
giacché siamo in tema di "nefandezze", un mio collega ha riferito che quando gli è capitato di far parte delle commissioni d'esame all'Università (sempre di istituzioni di matematiche, immagino a Economia o Architettura), dopo aver assistitito a delle "performances" più o meno decenti sugli argomenti specifici dei corsi universitari, si è divertito a fare qualche domandina da scuola media o biennio del liceo...
ti lascio immaginare, ad esempio, quanto possa essere "il doppio di un mezzo"...
[/OT]
nessuna intromissione ... (nel senso che non c'è stata ...
)giacché siamo in tema di "nefandezze", un mio collega ha riferito che quando gli è capitato di far parte delle commissioni d'esame all'Università (sempre di istituzioni di matematiche, immagino a Economia o Architettura), dopo aver assistitito a delle "performances" più o meno decenti sugli argomenti specifici dei corsi universitari, si è divertito a fare qualche domandina da scuola media o biennio del liceo...
ti lascio immaginare, ad esempio, quanto possa essere "il doppio di un mezzo"...
[/OT]
se hai un trinomio di secondo grado con discriminante negativo, ovviamente, non scomponi ulteriormente, ma prima cerchi di ottenere quello che hai detto: se hai inizialmente eseguito la divisione, il numeratore deve avere grado uno o zero. se ha grado uno, devi moltiplicare per un opportuno fattore in modo che "p" diventi "2a" per poter isolare la derivata del denominatore, e quello che rimarrà sarà di grado zero. su quello che rimarrà, con qualche "aggiustamento", sarà da riconoscere come primitiva l'arcotangente di un'opportuna funzione...
Vediamo un po' se ho compreso le tue parole. Tu, prima di tutto, introduci il caso generale, ossia il caso in cui il numeratore abbia grado maggiore del denominatore. Fatta la divisione, si presentano senz'altro integrali in cui il numeratore ha grado minore di quello del denominatore.
Per cui, si tratta di analizzare questo caso. La prima cosa che si fa è quella di pensare sempre alla derivata della funzione del denominatore, e, facendo in modo che p diventi 2a, si ottiene un integrale da risolvere per sostituzione, e un secondo integrale il cui numeratore è di grado zero.
Poi, però, che vuol dire "aggiustare"? Cioè, come bisogna ragionare una volta arrivati a quest'integrale con al numeratore un polinomio di grado zero? Possiamo vedere l'esempio, peraltro semplice, ma penso "utile", che ho postato io?
Io lo chiedo semplicemente perchè, come già specificavo, guardando il mio libro di esercizi questo integrale viene considerato come integrale notevole. E, come tale, deve avere una procedura standard da poter utilizzare.
anche questo "continua"...
Non ho capito...
l'aggiustare si può fare in due modi: ci sono le formulette bell'e servite che ti fanno individuare subito la primitiva, ma non sono agevoli da ricordare, anche perché non sono di verifica immediata; l'altro modo è quello algebrico, più lungo, che consiste prima nello scrivere il denominatore come somma di di un quadrato con la x e un quadrato senza la x, poi dividere tutto per il termine senza la x, individuare il nuovo coefficiente della x che sarà la derivata della funzione (che sarà argomento dell'arcotangente) e moltiplicare e dividere per un opportuno fattore in modo che al numeratore ci sia il coefficiente di x.
molto più semplice a farsi che a dirsi.
il continua si riferiva al fatto che, avendolo usato anche tu, mi aspetto di riprendere il discorso successivamente.
se ho reso l'idea del caso particolare, meglio così, comunque ti conviene confrontare le tabelle degli "integrali elementari", ed in particolare $int\(f'(x)dx)/(1+(f(x)^2))$ , anche con qualche variante.
riguardo l'esempio che hai aggiunto, è vero che è un caso particolare. non è riconducibile agli esempi tipici che si trovano nei testi (almeno quelli vecchi che ho io). ne riparleremo. se hai trovato un modo per svolgerlo, postalo, e ne possiamo discutere. io proverò a farmi un'idea su quale possa essere la strada migliore. ciao.
molto più semplice a farsi che a dirsi.
il continua si riferiva al fatto che, avendolo usato anche tu, mi aspetto di riprendere il discorso successivamente.
se ho reso l'idea del caso particolare, meglio così, comunque ti conviene confrontare le tabelle degli "integrali elementari", ed in particolare $int\(f'(x)dx)/(1+(f(x)^2))$ , anche con qualche variante.
riguardo l'esempio che hai aggiunto, è vero che è un caso particolare. non è riconducibile agli esempi tipici che si trovano nei testi (almeno quelli vecchi che ho io). ne riparleremo. se hai trovato un modo per svolgerlo, postalo, e ne possiamo discutere. io proverò a farmi un'idea su quale possa essere la strada migliore. ciao.
Per quanto riguarda la risoluzione del singolo integrale, ci penserò domani a mentre fresca...
Adesso volevo puntualizzare una cosa
Io mi sentivo autorizzato ad aspettarmi proprio una specie di formuletta, giacchè il mio testo di esercizi presenta questo integrale, come dicevo, come una specie di "integrale notevole".
Il fatto che tu mi dica che non esista questa formuletta non può che farmi piacere, perchè vuol dire che devo ricordarmi una formuletta in meno! A parte gli scherzi, farebbe comodo, però se tu mi dici che non esiste, o almeno che dipende sempre dal valore di $n$, allora io penso a trovare una soluzione senza quell'impressione, dannosissima, di stare a perdere tempo cercando di risolvere cose che, con le giuste conoscenze, richiederebbero un minore sacrificio.
Alla fine, in sostanza, è un meccanismo psicologico: io mi diverto a trovare soluzioni non espresse in formulette, quando so che l'unica cosa da fare; viceversa, quando so che una formula c'è, potrebbe esserci, la mia mente è come se si spegnesse.
Adesso volevo puntualizzare una cosa
spero che tu non ti aspetti una formuletta per ricavarti i coefficienti, senza nemmeno fissare n ... !
Io mi sentivo autorizzato ad aspettarmi proprio una specie di formuletta, giacchè il mio testo di esercizi presenta questo integrale, come dicevo, come una specie di "integrale notevole".
Il fatto che tu mi dica che non esista questa formuletta non può che farmi piacere, perchè vuol dire che devo ricordarmi una formuletta in meno! A parte gli scherzi, farebbe comodo, però se tu mi dici che non esiste, o almeno che dipende sempre dal valore di $n$, allora io penso a trovare una soluzione senza quell'impressione, dannosissima, di stare a perdere tempo cercando di risolvere cose che, con le giuste conoscenze, richiederebbero un minore sacrificio.
Alla fine, in sostanza, è un meccanismo psicologico: io mi diverto a trovare soluzioni non espresse in formulette, quando so che l'unica cosa da fare; viceversa, quando so che una formula c'è, potrebbe esserci, la mia mente è come se si spegnesse.
provo a scrivere un modo per risolvere quell'integrale, sperando di non commettere errori.
lascio indicato inizialmente un integrale perché si ripresenta quasi identico in un passaggio successivo.
$int\(dx)/(1+x^2)^3=int\(1+x^2)/(1+x^2)^3 dx-int\(x^2)/(1+x^2)^3 dx=int\(dx)/(1+x^2)^2 -1/2*int\x*(2x)/(1+x^2)^3$
il primo integrale lo lascio indicato, il secondo lo svolgo per parti, ricordando che $(2x)/(1+x^2)^3$ ha come primitiva $-1/(2*(1+x^2)^2)$:
ottengo
$int\(dx)/(1+x^2)^2+x/(4(1+x^2)^2)+1/4*int\(dx)/(1+x^2)^2=x/(4(1+x^2)^2)+5/4*int\(dx)/(1+x^2)^2$ , sommando i due integrali simili.
per $int\(dx)/(1+x^2)^2$ si procede analogamente al caso precedente: $int\(dx)/(1+x^2)^2=int\(1+x^2-x^2)/(1+x^2)^2 dx$.
otteniamo infine:
$int\(dx)/(1+x^2)^3=x/(4(1+x^2)^2)+5/4*int\(1+x^2)/(1+x^2)^2 dx-5/4*int\(x^2)/(1+x^2)^2 dx=$
$=x/(4(1+x^2)^2)+5/4*int\(dx)/(1+x^2)-5/8*int\x*(2x)/(1+x^2)^2 dx$, ricordando che $(2x)/(1+x^2)^2$ ha come primitiva $-1/(1+x^2)$.
dunque $int\(dx)/(1+x^2)^3=x/(4(1+x^2)^2)+5/4 arctg x +5/8 x*1/(1+x^2)-5/8 int\(dx)/(1+x^2)=$
$=x/(4(1+x^2)^2)+5/4 arctg x +(5x)/(8*(1+x^2))-5/8 arctg x + C =x/(4(1+x^2)^2)+(5x)/(8*(1+x^2))+5/8 arctg x +C$
spero sia chiaro. ciao.
lascio indicato inizialmente un integrale perché si ripresenta quasi identico in un passaggio successivo.
$int\(dx)/(1+x^2)^3=int\(1+x^2)/(1+x^2)^3 dx-int\(x^2)/(1+x^2)^3 dx=int\(dx)/(1+x^2)^2 -1/2*int\x*(2x)/(1+x^2)^3$
il primo integrale lo lascio indicato, il secondo lo svolgo per parti, ricordando che $(2x)/(1+x^2)^3$ ha come primitiva $-1/(2*(1+x^2)^2)$:
ottengo
$int\(dx)/(1+x^2)^2+x/(4(1+x^2)^2)+1/4*int\(dx)/(1+x^2)^2=x/(4(1+x^2)^2)+5/4*int\(dx)/(1+x^2)^2$ , sommando i due integrali simili.
per $int\(dx)/(1+x^2)^2$ si procede analogamente al caso precedente: $int\(dx)/(1+x^2)^2=int\(1+x^2-x^2)/(1+x^2)^2 dx$.
otteniamo infine:
$int\(dx)/(1+x^2)^3=x/(4(1+x^2)^2)+5/4*int\(1+x^2)/(1+x^2)^2 dx-5/4*int\(x^2)/(1+x^2)^2 dx=$
$=x/(4(1+x^2)^2)+5/4*int\(dx)/(1+x^2)-5/8*int\x*(2x)/(1+x^2)^2 dx$, ricordando che $(2x)/(1+x^2)^2$ ha come primitiva $-1/(1+x^2)$.
dunque $int\(dx)/(1+x^2)^3=x/(4(1+x^2)^2)+5/4 arctg x +5/8 x*1/(1+x^2)-5/8 int\(dx)/(1+x^2)=$
$=x/(4(1+x^2)^2)+5/4 arctg x +(5x)/(8*(1+x^2))-5/8 arctg x + C =x/(4(1+x^2)^2)+(5x)/(8*(1+x^2))+5/8 arctg x +C$
spero sia chiaro. ciao.
Grazie infinite, Ada, penso che la cosa si possa generalizzare (me ne darai tu una conferma, nel frattempo, domattina, appena sveglio, ci rifletto anche io a piene energie, svolgendo più integrali di questo tipo:)); conviene sempre aggiungere e sottrarre un termine con $x^2$, in modo da dividerlo in due $x$ e integrare per parti.
L'integrale, infatti, si troverebbe mettendo il $3$ al posto del $5$. Ovviamente dipende da qualche segno, ma l'importante è che un po' di autorità mi abbia dato sicurezza, su una procedura, che, ripeto, pare generalizzabile:wink: .
P.S.- Grazie ancora per la pazienza. Sei stata disponibilissima.
L'integrale, infatti, si troverebbe mettendo il $3$ al posto del $5$. Ovviamente dipende da qualche segno, ma l'importante è che un po' di autorità mi abbia dato sicurezza, su una procedura, che, ripeto, pare generalizzabile:wink: .
P.S.- Grazie ancora per la pazienza. Sei stata disponibilissima.
tempo fa sul forum mi hanno indicato una "pagina" di wikipedia in cui si trova ogni genere di integrale "elementare", quindi anche "tante formulette".
il riferimento che interessa te è questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_deg ... _razionali
forse rende "inutile" tutto il procedimento precedente ...
certo che le formule andrebbero dimostrate...
il riferimento che interessa te è questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_deg ... _razionali
forse rende "inutile" tutto il procedimento precedente ...
certo che le formule andrebbero dimostrate...
certo che le formule andrebbero dimostrate...
Infatti, già l'avevo visto questo link, ma era proprio quello il problema, non riuscivo a dimostrarmi le cose.
Alla fine, non sarebbe solo "cultura personale", perchè, facendo gli esercizi, è necessario anche sviluppare.
prego.
ci siamo sovrapposti a scrivere.
ti lascio qualche esercizio dal Demidovic (anche se sei "a nanna", sicuramente accenderai prima di me domani mattina...)
$int\(x-5)/(x^2-2x+2) dx$
$int\(dx)/(x*(x^2+5))$
$int\(dx)/(x^2+2)^2$
$int\(dx)/(x^4-2x^2+1)$
$int\(x dx)/(x^2-x+1)^3$
buon lavoro!
ci siamo sovrapposti a scrivere.
ti lascio qualche esercizio dal Demidovic (anche se sei "a nanna", sicuramente accenderai prima di me domani mattina...)
$int\(x-5)/(x^2-2x+2) dx$
$int\(dx)/(x*(x^2+5))$
$int\(dx)/(x^2+2)^2$
$int\(dx)/(x^4-2x^2+1)$
$int\(x dx)/(x^2-x+1)^3$
buon lavoro!
In realtà per l'integrale:
$I_(n,m):=\int (px+q)^m/(ax^2+bx+c)^n" d"x$
esistono delle formule di riduzione, che consentono di abbassare iterativamente il grado delle potenze nell'integrando; esse sono del tipo:
$I_(n,m)=C_1*(px+q)^(m-1)/(ax^2+bx+c)^(n-1)-C_2*I_(n,m-1)+C_3*I_(n,m-2)$ (questa abbassa solo il grado della potenza del numeratore)
$I_(n,m)=K_1*(2ax+b)*(px+q)^m/(ax^2+bx+c)^(n-1)+K_2*I_(n-1,m)+K_3*I_(n-1,m-1)$ (questa abbassa il grado delle potenze di numeratore e denominatore)
ove $C_1,C_2,C_3$ e $K_1,K_2,K_3$ sono opportuni coefficienti legati a $a,b,c,p,q$, al $Delta$ del polinomio presenta al denominatore ed agli esponenti $n,m$.
Tali formule si provano per induzione, ma servono una marea di conti credo... (Per quanto ne so quelle formule le ha provate un tizio alla fine del 1800).
Ad occhio, direi che per risolvere l'integrale con $m=1$ (caso postato da turtle87), convenga applicare prima la seconda formula e poi iterativamente la prima fino a ricondursi ad integrali elementari.
Ovviamente va da sé che è un'informazione di "cultura generale": sarebbe impossibile ricordarsi un formulone del genere all'esame.
$I_(n,m):=\int (px+q)^m/(ax^2+bx+c)^n" d"x$
esistono delle formule di riduzione, che consentono di abbassare iterativamente il grado delle potenze nell'integrando; esse sono del tipo:
$I_(n,m)=C_1*(px+q)^(m-1)/(ax^2+bx+c)^(n-1)-C_2*I_(n,m-1)+C_3*I_(n,m-2)$ (questa abbassa solo il grado della potenza del numeratore)
$I_(n,m)=K_1*(2ax+b)*(px+q)^m/(ax^2+bx+c)^(n-1)+K_2*I_(n-1,m)+K_3*I_(n-1,m-1)$ (questa abbassa il grado delle potenze di numeratore e denominatore)
ove $C_1,C_2,C_3$ e $K_1,K_2,K_3$ sono opportuni coefficienti legati a $a,b,c,p,q$, al $Delta$ del polinomio presenta al denominatore ed agli esponenti $n,m$.
Tali formule si provano per induzione, ma servono una marea di conti credo... (Per quanto ne so quelle formule le ha provate un tizio alla fine del 1800).
Ad occhio, direi che per risolvere l'integrale con $m=1$ (caso postato da turtle87), convenga applicare prima la seconda formula e poi iterativamente la prima fino a ricondursi ad integrali elementari.
Ovviamente va da sé che è un'informazione di "cultura generale": sarebbe impossibile ricordarsi un formulone del genere all'esame.
Grazie a tutti, ragazzi, oggi mi sono un po' messo al lavoro.
Ho verificato che il "metodo di Ada" vale per tutti gli integrali del tipo $int frac{k}{(ax^2 + bx + c)^ndx}$, cioè, può essere applicato con generalità a quegli integrali. In alternativa si potrebbe usare il metodo di Gugo, ma, non avendolo mai lontanamente capito, dal punto di vista della dimostrazione (le formule di ricorrenza cerco di non usarle mai, sviluppo l'integrale mano mano come viene: da qui mi riesce difficile capire da qualche ragionamento siano potuti scaturire quei simboli, anche se Gugo in effetti ha spiegato la loro origine).
Volevo adesso prendere in studio l'integrale del tipo $int frac {px + q}{(ax^2 + bx + c)^ndx}$, per vedere se è così che si risolve, sostanzialmente.
Prendo in considerazione questo esempio:
$int frac {3x + 7}{(x^2 + 2x + 5)^2}dx$.
Ho prima provato a vedere se, scomponendo nella seguente somma:
$int frac {2x + 2}{(x^2 + 2x + 5)^2dx} + int frac {x + 5}{(x^2 + 2x + 5)^2dx}$, poteva venire fuori qualcosa di buono. Mi sono accorto che ben presto mi impantano, così ho provato a seguire l'esempio di Ada, per intenderci, trasformare l'integrale nella somma dei seguenti:
$int frac {x^2 + 2x + 5}{(x^2 + 2x + 5)^2dx} + int frac {-x^2 + x + 2}{(x^2 + 2x + 5)^2dx}$.
Questo procedimento è "generalizzabile" se e solo se mi confermate che unica condizione per effettuare la divisione tra due polinomi è guardare i gradi dei polinomi, indipendentemente da quali polinomi siano in ballo (per i numeri, come sappiamo, la cosa non è così semplice, visto che due numeri possono essere anche non divisibili, mentre per quanto riguarda i polinomi penso vivamente che due polinomi, soddisfatte le condizioni relative ai loro gradi, siano sempre "divisibili").
Potete verificare se ho fatto bene o meno?
Per quanto riguarda poi gli integrali del tipo
$int frac {(ax + b)^n}{(px^2 + qx + c)^m}dx$, credo che l'unico modo per risolverli sia utilizzare la formula postata da Gugo.
Infine, ho osservato gli esercizi gentilmente postati da Ada.
Il primo integrale è facilmente risolubile con una delle regole classiche applicate quando il delta del polinomio di secondo grado al denominatore è minore di zero.
Il secondo integrale, lo risolvo con i fratti semplici, visto che qui scomporre non mi creerebbe problemi.
Il terzo, lo risolvo utilizzando nuovamente la scomposizione in fratti semplici.
Il quarto sembrerebbe rientrare nel caso da me discusso in quest'ultima risposta.
Bisogna aggiungere e sottrarre, e poi spezzare in due. Da una parte viene l'integrale (già "semplificato")
$int frac {x^2 - x +1}{(x^2 - x + 1)^3dx}$, dall'altra $int frac {-x^2 + 2x - 1}{(x^2 - x + 1)^3}dx$, con il primo che viene ridotto, e risolto sempre allo stesso modo piano piano che l'esponente del denominatore scende, e con il secondo che viene risolto facendo ricorso a quella divisione che auspicavo io.
In realtà, sono convinto, osservando i numeri, che ci siano altri modi per risolvere quest'ultimo integrale per parti. Tuttavia, sono esausto adesso per poterci pensare con il giusto impegno.
Ho verificato che il "metodo di Ada" vale per tutti gli integrali del tipo $int frac{k}{(ax^2 + bx + c)^ndx}$, cioè, può essere applicato con generalità a quegli integrali. In alternativa si potrebbe usare il metodo di Gugo, ma, non avendolo mai lontanamente capito, dal punto di vista della dimostrazione (le formule di ricorrenza cerco di non usarle mai, sviluppo l'integrale mano mano come viene: da qui mi riesce difficile capire da qualche ragionamento siano potuti scaturire quei simboli, anche se Gugo in effetti ha spiegato la loro origine).
Volevo adesso prendere in studio l'integrale del tipo $int frac {px + q}{(ax^2 + bx + c)^ndx}$, per vedere se è così che si risolve, sostanzialmente.
Prendo in considerazione questo esempio:
$int frac {3x + 7}{(x^2 + 2x + 5)^2}dx$.
Ho prima provato a vedere se, scomponendo nella seguente somma:
$int frac {2x + 2}{(x^2 + 2x + 5)^2dx} + int frac {x + 5}{(x^2 + 2x + 5)^2dx}$, poteva venire fuori qualcosa di buono. Mi sono accorto che ben presto mi impantano, così ho provato a seguire l'esempio di Ada, per intenderci, trasformare l'integrale nella somma dei seguenti:
$int frac {x^2 + 2x + 5}{(x^2 + 2x + 5)^2dx} + int frac {-x^2 + x + 2}{(x^2 + 2x + 5)^2dx}$.
Questo procedimento è "generalizzabile" se e solo se mi confermate che unica condizione per effettuare la divisione tra due polinomi è guardare i gradi dei polinomi, indipendentemente da quali polinomi siano in ballo (per i numeri, come sappiamo, la cosa non è così semplice, visto che due numeri possono essere anche non divisibili, mentre per quanto riguarda i polinomi penso vivamente che due polinomi, soddisfatte le condizioni relative ai loro gradi, siano sempre "divisibili").
Potete verificare se ho fatto bene o meno?
Per quanto riguarda poi gli integrali del tipo
$int frac {(ax + b)^n}{(px^2 + qx + c)^m}dx$, credo che l'unico modo per risolverli sia utilizzare la formula postata da Gugo.
Infine, ho osservato gli esercizi gentilmente postati da Ada.
Il primo integrale è facilmente risolubile con una delle regole classiche applicate quando il delta del polinomio di secondo grado al denominatore è minore di zero.
Il secondo integrale, lo risolvo con i fratti semplici, visto che qui scomporre non mi creerebbe problemi.
Il terzo, lo risolvo utilizzando nuovamente la scomposizione in fratti semplici.
Il quarto sembrerebbe rientrare nel caso da me discusso in quest'ultima risposta.
Bisogna aggiungere e sottrarre, e poi spezzare in due. Da una parte viene l'integrale (già "semplificato")
$int frac {x^2 - x +1}{(x^2 - x + 1)^3dx}$, dall'altra $int frac {-x^2 + 2x - 1}{(x^2 - x + 1)^3}dx$, con il primo che viene ridotto, e risolto sempre allo stesso modo piano piano che l'esponente del denominatore scende, e con il secondo che viene risolto facendo ricorso a quella divisione che auspicavo io.
In realtà, sono convinto, osservando i numeri, che ci siano altri modi per risolvere quest'ultimo integrale per parti. Tuttavia, sono esausto adesso per poterci pensare con il giusto impegno.
Salve, ragazzi, c'è una tipologia di integrale che volevo discutere.
E' l'integrale, peraltro generalissimo (visto che ci sono mille e mille forme in cui trovarlo) del tipo:
$int R (x, (root(2)(ax + b)), (root (2)(cx + d)) dx$
Il testo Fiorenza- Greco (che finalmente sono riuscito a procurarmi:-)) mi suggerisce come metodo quello della doppia sostituzione di un radicale. Scelgo uno dei due radicali, e lo sostituisco con $t$. Dalla sostituzione, l'altro degli integrali, quello non sostituito, viene ad essere trasformato in un radicale il cui radicando è un polinomio, stavolta, di secondo grado. Risostituisco, come opportuno (se il polinomio è $root (2) (mx^2 + nx + p)$ allora la sostituzione sarà: $(root(2)(m)) * (u - t)$.
Così facendo riesco a risolvere i miei integrali, ma osservando la soluzione degli integrali annoverati come di questo tipo, mi escono come primitive sempre combinazioni lineari di una funzione logaritmo e di una arcotangente. Mentre le mie soluzioni non escono mai così.
Vi posto un esempio con relativa soluzione.
$int frac {dx}{(root(2)(x)) * ((root(2)(4x + 2))-1)}$
Io sostituisco $root(2)(x)$ con $t$, ottenendo:
$int frac {2tdt}{(t) * ((root(2)(4t^2 + 2))-1)}$
Risostituisco, come da "copione":
$4 t^2 + 2 = 2(u - t)$, ottenendo:
$int frac {(2u^2 + 1)/(2u^2) du}{frac{16u - 4u^2 + 2}{2u^2} - 1}$
Procedendo, in apparenza non viene il risultato richiesto, chè è:
$log(2(root(2)(x)) + root(2)(4x + 2)) + 2 arctg (2(root(2)(x)) + root(2)(4x + 2) - 1)$.
Che mi dite? Va bene come ho sviluppato io?
E' l'integrale, peraltro generalissimo (visto che ci sono mille e mille forme in cui trovarlo) del tipo:
$int R (x, (root(2)(ax + b)), (root (2)(cx + d)) dx$
Il testo Fiorenza- Greco (che finalmente sono riuscito a procurarmi:-)) mi suggerisce come metodo quello della doppia sostituzione di un radicale. Scelgo uno dei due radicali, e lo sostituisco con $t$. Dalla sostituzione, l'altro degli integrali, quello non sostituito, viene ad essere trasformato in un radicale il cui radicando è un polinomio, stavolta, di secondo grado. Risostituisco, come opportuno (se il polinomio è $root (2) (mx^2 + nx + p)$ allora la sostituzione sarà: $(root(2)(m)) * (u - t)$.
Così facendo riesco a risolvere i miei integrali, ma osservando la soluzione degli integrali annoverati come di questo tipo, mi escono come primitive sempre combinazioni lineari di una funzione logaritmo e di una arcotangente. Mentre le mie soluzioni non escono mai così.
Vi posto un esempio con relativa soluzione.
$int frac {dx}{(root(2)(x)) * ((root(2)(4x + 2))-1)}$
Io sostituisco $root(2)(x)$ con $t$, ottenendo:
$int frac {2tdt}{(t) * ((root(2)(4t^2 + 2))-1)}$
Risostituisco, come da "copione":
$4 t^2 + 2 = 2(u - t)$, ottenendo:
$int frac {(2u^2 + 1)/(2u^2) du}{frac{16u - 4u^2 + 2}{2u^2} - 1}$
Procedendo, in apparenza non viene il risultato richiesto, chè è:
$log(2(root(2)(x)) + root(2)(4x + 2)) + 2 arctg (2(root(2)(x)) + root(2)(4x + 2) - 1)$.
Che mi dite? Va bene come ho sviluppato io?
"turtle87":
se il polinomio è $root (2) (mt^2 + nt + p)$ allora la sostituzione sarà: $(root(2)(m)) * (u - t)$.
Occhio: la sostituzione è:
$root (2) (mt^2 + nt + p)=(root(2)(m)) * (u - t) \quad$ ossia $mt^2+nt+p=m(u-t)^2$
quindi nel tuo caso $4t^2+2=4(u-t)^2$.
Nota che la sostituzione è pensata in modo da eliminare il termine $mt^2$, così da poter ricavare $t$ come funzione razionale di $u$.
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