Integrali indefiniti
Mi dite come si risolvono questi integrali?
1) Integrale(x^2+x^3)/x^5 dx
2) Integrale (3x^2)/(x^3+5)^4 dx
3) Integrale (logx+log^4x)/x dx
4) Integrale (cos^2x-sen^2x)/(1+sen2x) dx
5) Integrale (x^3+1)/2x^2) dx
Grazie
1) Integrale(x^2+x^3)/x^5 dx
2) Integrale (3x^2)/(x^3+5)^4 dx
3) Integrale (logx+log^4x)/x dx
4) Integrale (cos^2x-sen^2x)/(1+sen2x) dx
5) Integrale (x^3+1)/2x^2) dx
Grazie
Risposte
"ale986":
Mi dite come si risolvono questi integrali?
1) Integrale(x^2+x^3)/x^5 dx
2) Integrale (3x^2)/(x^3+5)^4 dx
3) Integrale (logx+log^4x)/x dx
4) Integrale (cos^2x-sen^2x)/(1+sen2x) dx
5) Integrale (x^3+1)/2x^2) dx
Grazie
Non è che dato un esercizio ti restituiamo la soluzione, magari te la scriviamo anche sul quaderno...
Devi prima conoscere questi due integrali fondamentali
Se $k != -1$ allora $int x^k dx = (x^(k+1))/(k+1)+C$
Altrimenti $int x^(-1) dx = ln(x)+C$
EDIT: non avevo notato che ci sono anche $sin,cos$, allora sappi che
$int sin(x)dx=-cos(x)+C$
$int cos(x)dx=sin(x)+C$
nel tuo caso è solo questione di usare qualche identità trigonometrica
Sono tutti integrali di tipo immediato, non dovresti
trovare molte difficoltà...
trovare molte difficoltà...
"ale986":
Mi dite come si risolvono questi integrali?
1) Integrale(x^2+x^3)/x^5 dx
2) Integrale (3x^2)/(x^3+5)^4 dx
3) Integrale (logx+log^4x)/x dx
4) Integrale (cos^2x-sen^2x)/(1+sen2x) dx
5) Integrale ((x^3+1)/2x^2) dx
Grazie
Sfruttando le proprietà sopra elencate trovi:
1)Integrale$(x^2+x^3)/x^5 dx$=Integrale$(x^(-3)+x^(-2))dx$=$-1/2*x^(-2)-1/x+C$
2)Integrale $(3x^2)/(x^3+5)^4 dx$=$-1/3*(x^3+5)^(-3)+C$
3) Integrale $(logx+log^4x)/x dx$=$1/2*(logx)^2+1/5*(logx)^5+C$ (con log ho inteso ln cioè logaritmo in base e)
4) Integrale $(cos^2x-sen^2x)/(1+sen2x) dx$. Ricorda che $(cos^2x-sen^2x)=cos2x$ per cui
Integrale $(cos^2x-sen^2x)/(1+sen2x) dx$=Integrale $(cos2x)/(1+sen2x) dx$=$1/2*ln|1+sen2x|+C$
5)Integrale $((x^3+1)/(2x^2)) dx$=$(x^2)/4-1/(2x)+C$
Ulteriore proprietà
Integrale $(f'(x))/f(x)dx$=$ln|f(x)|+C $ dove f'(x) è la derivata di f(x). Tale proprietà ho usato in 4.
Ricorda inoltre che l'integrale di una somma è la somma degli integrali.
Ciao, non riesco a risolvere un integrale, qualcuno mi può dare una mano?
L'integrale è:
radice di x+1/1-x si deve risolvere con il metodo di sostituzione, ma non sono riuscito a risolverlo.
Grazie mille, buona giornata
davipo
L'integrale è:
radice di x+1/1-x si deve risolvere con il metodo di sostituzione, ma non sono riuscito a risolverlo.
Grazie mille, buona giornata
davipo
"davipo":
Ciao, non riesco a risolvere un integrale, qualcuno mi può dare una mano?
L'integrale è:
radice di x+1/1-x si deve risolvere con il metodo di sostituzione, ma non sono riuscito a risolverlo.
Grazie mille, buona giornata
davipo
Se intendi $int sqrt(1+x)/(1-x) dx$ potresti fare la sostituzione $1-x=t$ portando l'integrale nella forma $int sqrt(ax+b)/x dx$, che si trova su alcuni testi.
intendevo la radice di tutta la frazione (x+1/1-x), mi sono espresso male, scusa.
grazie.
grazie.
"davipo":
Ciao, non riesco a risolvere un integrale, qualcuno mi può dare una mano?
L'integrale è:
radice di x+1/1-x si deve risolvere con il metodo di sostituzione, ma non sono riuscito a risolverlo.
Grazie mille, buona giornata
davipo
Se intendi integrale di $sqrt((x+1)/(1-x))$ cioè tutto sotto radice allora fai la sostituzione:
$(x+1)/(1-x)=t^2$ da cui $x=(t^2-1)/(t^2+1)$ da cui $dx=4t/((t^2+1)^2)dt$ e l'integrale diventa
integrale di $(t*4t/((t^2+1)^2))dt$=integrale di $(4t^2/( (t^2+1)^2))dt$
Ora $4t^2/( (t^2+1)^2)$=$(4t^2+4-4)/((t^2+1)^2)$=$4/(t^2+1)-4/((t^2+1)^2)$
Ora l'integrale di $4/(t^2+1)$ è $4arctg(t)$, mentre per risolvere l'integrale di $4/((t^2+1)^2)$ facciamo la sostituzione $t=tg(z)$
Allora $t=tg(z)$ comporta $dt=1/(cos^2z)dz $per cui l'integrale diventa
integrale di $(4/(tg^2z+1)^2)* 1/(cos^2z)dz$=integrale di $4cos^2z dz$dal momento che $1/(tg^2z+1)^2=cos^4z$
L'integrale di $4cos^2z dz$=Integrale di$(2+2cos(2z))dz$=$2z+sen2z$=$2arctg(t)+sen(2arctg(t))$ perchè $cos^2z=1/2*(1+cos(2z))$
Ora $sen(2arctg(t))$=$2sen(arctg(t))cos(arctg(t))$. Ma
$sen(arctg(t))$=$sqrt(t^2/(1+t^2))$ e $cos(arctg(t))$=$sqrt(1/(t^2+1))$ per cui $sen(2arctg(t))$=$2sen(arctg(t))cos(arctg(t))$=$2t/(t^2+1)$
In definitiva
integrale di $sqrt((x+1)/(1-x))dx$ =
integrale di $(t*4t/((t^2+1)^2))dt$=$4arctg(t)-2arctg(t)-2t/(t^2+1)+C$=$2arctg(t)-2t/(t^2+1)+C$=$2arctg(sqrt((x+1)/(1-x)))-sqrt(1-x^2)+C$
Grazie mille.
ciao
ciao
Dopo la sostituzione $x=(t^2-1)/(t^2+1)$ si giunge all'espressione $4 int (t^2)/(t^2+1)^2 dt$. Bene, a questo punto, per
snellire i calcoli, citerei l'utilissima
Formula di Hermite: $(z^2)/(z^2+omega^2)^2=1/2(1/(z^2+omega^2)-d/dz z/(z^2+omega^2)) AA omega in CC-{0}$
da cui $4 int (t^2)/(t^2+1)^2 dt = 4 int 1/2(1/(t^2+1)-d/dt t/(t^2+1)) = 2 int 1/(t^2+1)-d/dt t/(t^2+1) dt = 2arctgt-(2t)/(t^2+1)$
Ora si può passare dalla variabile $t$ alla variabile $x$ invertendo la sostituzione.
snellire i calcoli, citerei l'utilissima
Formula di Hermite: $(z^2)/(z^2+omega^2)^2=1/2(1/(z^2+omega^2)-d/dz z/(z^2+omega^2)) AA omega in CC-{0}$
da cui $4 int (t^2)/(t^2+1)^2 dt = 4 int 1/2(1/(t^2+1)-d/dt t/(t^2+1)) = 2 int 1/(t^2+1)-d/dt t/(t^2+1) dt = 2arctgt-(2t)/(t^2+1)$
Ora si può passare dalla variabile $t$ alla variabile $x$ invertendo la sostituzione.
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